▶
В этом руководстве приводится пошаговый вывод закона силы Лоренца из лагранжиана заряженной частицы в электромагнитных потенциалах. Попутно мы аккуратно вычисляем члены уравнения Эйлера — Лагранжа, объясняем полную производную векторного потенциала и проверяем векторное тождество, используемое в выводе.
Для заряженной частицы массы $m$ и заряда $q$, движущейся в электромагнитных полях, описываемых векторным потенциалом $\vec{A}(\vec{x},t)$ и скалярным потенциалом $\phi(\vec{x},t)$, лагранжиан имеет вид
\[L = \frac{1}{2}m\dot{\vec{x}}\cdot\dot{\vec{x}} + q\dot{\vec{x}}\cdot\vec{A} - q\phi .\]
Здесь $\dot{\vec{x}}$ — скорость частицы, а точка обозначает производную по времени.
Производная лагранжиана по скорости равна
\[\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} = m\dot{\vec{x}} + q\vec{A}.\]
Эта величина является каноническим импульсом. Она отличается от механического импульса $m\dot{\vec{x}}$ на электромагнитный член $q\vec{A}$.
Мы будем использовать тождество
\[\nabla(\vec{U}\cdot\vec{V}) = (\vec{U}\cdot\nabla)\vec{V} + (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{U} + \vec{U}\times(\nabla\times\vec{V}) + \vec{V}\times(\nabla\times\vec{U}).\]
В этом выводе положим $\vec{U}=\dot{\vec{x}}$ и $\vec{V}=\vec{A}$. При взятии $\nabla$ по $\vec{x}$ скорость $\dot{\vec{x}}$ рассматривается как не зависящая от положения, поэтому
\[(\vec{A}\cdot\nabla)\dot{\vec{x}}=0,
\qquad
\nabla\times\dot{\vec{x}}=0.\]
Следовательно, тождество сводится к
\[\nabla(\dot{\vec{x}}\cdot\vec{A}) = (\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A} + \dot{\vec{x}}\times(\nabla\times\vec{A}).\]
Теперь вычислим частную производную $L$ по $\vec{x}$. Кинетический член не имеет явной зависимости от $\vec{x}$, поэтому вклад дают только члены с потенциалами:
\[\frac{\partial L}{\partial \vec{x}}
= \nabla\left(q\dot{\vec{x}}\cdot\vec{A} - q\phi\right).\]
Член со скалярным потенциалом даёт
\[\nabla(-q\phi) = -q\nabla\phi.\]
Используя приведённое выше упрощённое векторное тождество, член с векторным потенциалом даёт
\[\nabla(q\dot{\vec{x}}\cdot\vec{A})
= q(\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A} + q\dot{\vec{x}}\times(\nabla\times\vec{A}).\]
Объединяя оба члена,
\[\frac{\partial L}{\partial \vec{x}}
= -q\nabla\phi + q(\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A} + q\dot{\vec{x}}\times(\nabla\times\vec{A}).\]
Уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}}\right) - \frac{\partial L}{\partial \vec{x}} = 0.\]
Из шага 2
\[\frac{d}{dt}\left(m\dot{\vec{x}}+q\vec{A}\right)
= m\ddot{\vec{x}} + q\frac{d\vec{A}}{dt}.\]
Поскольку $\vec{A}$ зависит как от $t$, так и от положения частицы $\vec{x}(t)$, её полная производная по времени равна
\[\frac{d\vec{A}}{dt}
= \frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + (\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A}.\]
Следовательно,
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}}\right)
= m\ddot{\vec{x}} + q\left(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + (\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A}\right).\]
Подставим два вычисленных члена в уравнение Эйлера — Лагранжа:
\[m\ddot{\vec{x}} + q\left(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + (\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A}\right)
-
\left[-q\nabla\phi + q(\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A} + q\dot{\vec{x}}\times(\nabla\times\vec{A})\right]
=0.\]
Раскрывая скобки и сокращая повторяющиеся члены $(\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A}$, получаем
\[m\ddot{\vec{x}} + q\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + q\nabla\phi - q\dot{\vec{x}}\times(\nabla\times\vec{A}) = 0.\]
Перегруппируем:
\[m\ddot{\vec{x}}
= q\left(-\nabla\phi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)
+ q\dot{\vec{x}}\times(\nabla\times\vec{A}).\]
Используя стандартные определения
\[\vec{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t},
\qquad
\vec{B} = \nabla\times\vec{A},\]
получаем закон силы Лоренца:
\[m\ddot{\vec{x}} = q\left(\vec{E}+\dot{\vec{x}}\times\vec{B}\right).\]
Эквивалентно, поскольку $\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$ и $\vec{v}=\dot{\vec{x}}$,
\[\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}).\]
Полная производная векторного поля $\vec{A}(t,\vec{x}(t))$ определяется как
\[\frac{d\vec{A}}{dt}
= \lim_{\Delta t\to 0}
\frac{\vec{A}(t+\Delta t,\vec{x}(t+\Delta t))-\vec{A}(t,\vec{x}(t))}{\Delta t}.\]
Используем разложение Тейлора первого порядка в окрестности $(t,\vec{x}(t))$:
\[\vec{A}(t+\Delta t,\vec{x}(t+\Delta t))
\approx
\vec{A}(t,\vec{x}(t))
+ \Delta t\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}
+ \Delta\vec{x}\cdot\nabla\vec{A},\]
где
\[\Delta\vec{x}=\vec{x}(t+\Delta t)-\vec{x}(t).\]
Подставляя в предел,
\[\frac{d\vec{A}}{dt}
= \lim_{\Delta t\to 0}
\left(
\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}
+ \frac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}\cdot\nabla\vec{A}
\right).\]
Поскольку
\[\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}=\dot{\vec{x}},\]
получаем
\[\frac{d\vec{A}}{dt}
= \frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + (\dot{\vec{x}}\cdot\nabla)\vec{A}.\]
Пусть
\[\vec{U}=U_x\hat{i}+U_y\hat{j}+U_z\hat{k},
\qquad
\vec{V}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k},\]
где каждая компонента может зависеть от $(x,y,z)$. Скалярное произведение равно
\[\vec{U}\cdot\vec{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.\]
$x$-компонента $\nabla(\vec{U}\cdot\vec{V})$ равна
\[\partial_x(U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z)
= V_x\partial_xU_x+V_y\partial_xU_y+V_z\partial_xU_z
+ U_x\partial_xV_x+U_y\partial_xV_y+U_z\partial_xV_z.\]
Теперь вычислим $x$-компоненту правой части:
\[[(\vec{U}\cdot\nabla)\vec{V}]_x
= U_x\partial_xV_x+U_y\partial_yV_x+U_z\partial_zV_x,\]
\[[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{U}]_x
= V_x\partial_xU_x+V_y\partial_yU_x+V_z\partial_zU_x,\]
\[[\vec{U}\times(\nabla\times\vec{V})]_x
= U_y(\partial_xV_y-\partial_yV_x)-U_z(\partial_zV_x-\partial_xV_z),\]
и
\[[\vec{V}\times(\nabla\times\vec{U})]_x
= V_y(\partial_xU_y-\partial_yU_x)-V_z(\partial_zU_x-\partial_xU_z).\]
Сложение этих четырёх выражений сокращает члены, содержащие $\partial_yV_x$, $\partial_zV_x$, $\partial_yU_x$ и $\partial_zU_x$, оставляя в точности
\[\partial_x(U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z).\]
$y$- и $z$-компоненты получаются таким же образом, так что полное векторное тождество проверено.
Исходя из электромагнитного лагранжиана
\[L = \frac{1}{2}m\dot{\vec{x}}^2 + q\dot{\vec{x}}\cdot\vec{A} - q\phi,\]
уравнение Эйлера — Лагранжа даёт
\[m\ddot{\vec{x}} = q(\vec{E}+\dot{\vec{x}}\times\vec{B}).\]
Электрическая сила возникает из скалярного потенциала и явной зависимости векторного потенциала от времени, тогда как магнитная сила возникает из ротора векторного потенциала.
Русский
