ラグランジアンからローレンツ力の法則を導出する
はじめに
このチュートリアルでは、電磁ポテンシャル中の荷電粒子のラグランジアンから、ローレンツ力の法則を段階的に導出します。その過程で、オイラー＝ラグランジュ方程式に現れる各項を丁寧に計算し、ベクトルポテンシャルの全微分を説明し、導出で用いるベクトル恒等式を確認します。
ステップ1：ラグランジアンを定義する
ベクトルポテンシャル $vec{A}(vec{x},t)$ とスカラーポテンシャル $phi(vec{x},t)$ で記述される電磁場の中を運動する、質量 $m$、電荷 $q$ の荷電粒子を考えます。この粒子のラグランジアンは
\[L = frac{1}{2}mdot{vec{x}}cdotdot{vec{x}} + qdot{vec{x}}cdotvec{A} - qphi .\]
ここで $dot{vec{x}}$ は粒子の速度であり、ドットは時間微分を表します。
ステップ2：$partial L / partial dot{vec{x}}$ を計算する
速度に関するラグランジアンの微分は
\[frac{partial L}{partial dot{vec{x}}} = mdot{vec{x}} + qvec{A}.\]
この量は正準運動量です。これは、力学的運動量 $mdot{vec{x}}$ とは電磁項 $qvec{A}$ だけ異なります。
ステップ3：ベクトル恒等式を導く
次の恒等式を用います。
\[nabla(vec{U}cdotvec{V}) = (vec{U}cdotnabla)vec{V} + (vec{V}cdotnabla)vec{U} + vec{U}times(nablatimesvec{V}) + vec{V}times(nablatimesvec{U}).\]
この導出では、$vec{U}=dot{vec{x}}$、$vec{V}=vec{A}$ とします。$vec{x}$ に関して $nabla$ を取るとき、速度 $dot{vec{x}}$ は位置とは独立なものとして扱うため、
\[(vec{A}cdotnabla)dot{vec{x}}=0,
qquad
nablatimesdot{vec{x}}=0.\]
したがって、この恒等式は次の形に簡約されます。
\[nabla(dot{vec{x}}cdotvec{A}) = (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + dot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
ステップ4：$partial L / partial vec{x}$ を計算する
次に、$vec{x}$ に関する $L$ の偏微分を計算します。運動エネルギー項は $vec{x}$ に明示的には依存しないため、ポテンシャル項だけが寄与します。
\[frac{partial L}{partial vec{x}}
= nablaleft(qdot{vec{x}}cdotvec{A} - qphiright).\]
スカラーポテンシャル項は
\[nabla(-qphi) = -qnablaphi.\]
上で得た簡約されたベクトル恒等式を用いると、ベクトルポテンシャル項は
\[nabla(qdot{vec{x}}cdotvec{A})
= q(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
2つの項を合わせると、
\[frac{partial L}{partial vec{x}}
= -qnablaphi + q(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
ステップ5：オイラー＝ラグランジュ方程式を使う
オイラー＝ラグランジュ方程式は
\[frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{vec{x}}}right) - frac{partial L}{partial vec{x}} = 0.\]
ステップ2より、
\[frac{d}{dt}left(mdot{vec{x}}+qvec{A}right)
= mddot{vec{x}} + qfrac{dvec{A}}{dt}.\]
$vec{A}$ は $t$ と粒子の位置 $vec{x}(t)$ の両方に依存するため、その時間に関する全微分は
\[frac{dvec{A}}{dt}
= frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}.\]
したがって、
\[frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{vec{x}}}right)
= mddot{vec{x}} + qleft(frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}right).\]
ステップ6：代入して簡約する
計算した2つの項をオイラー＝ラグランジュ方程式に代入します。
\[mddot{vec{x}} + qleft(frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}right)
-
left[-qnablaphi + q(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A})right]
=0.\]
展開し、重複する $(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}$ の項を打ち消すと、
\[mddot{vec{x}} + qfrac{partialvec{A}}{partial t} + qnablaphi - qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}) = 0.\]
整理すると、
\[mddot{vec{x}}
= qleft(-nablaphi - frac{partialvec{A}}{partial t}right)
+ qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
標準的な定義
\[vec{E} = -nablaphi - frac{partialvec{A}}{partial t},
qquad
vec{B} = nablatimesvec{A},\]
を用いると、ローレンツ力の法則が得られます。
\[mddot{vec{x}} = qleft(vec{E}+dot{vec{x}}timesvec{B}right).\]
同じことを、$vec{F}=mddot{vec{x}}$、$vec{v}=dot{vec{x}}$ と書けば、
\[vec{F}=q(vec{E}+vec{v}timesvec{B}).\]
補足：全微分の導出
ベクトル場 $vec{A}(t,vec{x}(t))$ の全微分は次のように定義されます。
\[frac{dvec{A}}{dt}
= lim_{Delta tto 0}
frac{vec{A}(t+Delta t,vec{x}(t+Delta t))-vec{A}(t,vec{x}(t))}{Delta t}.\]
$(t,vec{x}(t))$ のまわりで一次のテイラー展開を用いると、
\[vec{A}(t+Delta t,vec{x}(t+Delta t))
approx
vec{A}(t,vec{x}(t))
+ Delta tfrac{partialvec{A}}{partial t}
+ Deltavec{x}cdotnablavec{A},\]
ここで
\[Deltavec{x}=vec{x}(t+Delta t)-vec{x}(t).\]
これを極限に代入すると、
\[frac{dvec{A}}{dt}
= lim_{Delta tto 0}
left(
frac{partialvec{A}}{partial t}
+ frac{Deltavec{x}}{Delta t}cdotnablavec{A}
right).\]
さらに
\[lim_{Delta tto 0}frac{Deltavec{x}}{Delta t}=dot{vec{x}},\]
なので、
\[frac{dvec{A}}{dt}
= frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}.\]
補足：3次元でベクトル恒等式を確認する
次のようにおきます。
\[vec{U}=U_xhat{i}+U_yhat{j}+U_zhat{k},
qquad
vec{V}=V_xhat{i}+V_yhat{j}+V_zhat{k},\]
ここで各成分は $(x,y,z)$ に依存してよいものとします。内積は
\[vec{U}cdotvec{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.\]
$nabla(vec{U}cdotvec{V})$ の $x$ 成分は
\[partial_x(U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z)
= V_xpartial_xU_x+V_ypartial_xU_y+V_zpartial_xU_z
+ U_xpartial_xV_x+U_ypartial_xV_y+U_zpartial_xV_z.\]
次に、右辺の $x$ 成分を計算します。
\[[(vec{U}cdotnabla)vec{V}]_x
= U_xpartial_xV_x+U_ypartial_yV_x+U_zpartial_zV_x,\]
\[[(vec{V}cdotnabla)vec{U}]_x
= V_xpartial_xU_x+V_ypartial_yU_x+V_zpartial_zU_x,\]
\[[vec{U}times(nablatimesvec{V})]_x
= U_y(partial_xV_y-partial_yV_x)-U_z(partial_zV_x-partial_xV_z),\]
そして
\[[vec{V}times(nablatimesvec{U})]_x
= V_y(partial_xU_y-partial_yU_x)-V_z(partial_zU_x-partial_xU_z).\]
これら4つの式を足し合わせると、$partial_yV_x$、$partial_zV_x$、$partial_yU_x$、$partial_zU_x$ を含む項が打ち消し合い、ちょうど
\[partial_x(U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z)\]
が残ります。$y$ 成分と $z$ 成分も同じように示せるため、完全なベクトル恒等式が確認されます。
結論
電磁場中のラグランジアン
\[L = frac{1}{2}mdot{vec{x}}^2 + qdot{vec{x}}cdotvec{A} - qphi,\]
から出発すると、オイラー＝ラグランジュ方程式により
\[mddot{vec{x}} = q(vec{E}+dot{vec{x}}timesvec{B})\]
が得られます。電気的な力はスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの明示的な時間依存性から生じ、磁気的な力はベクトルポテンシャルのカールから生じます。
