从拉格朗日量推导洛伦兹力定律
引言
本教程将从带电粒子在电磁势中的拉格朗日量出发，逐步推导洛伦兹力定律。推导过程中，我们会仔细计算欧拉-拉格朗日方程中的各项，解释矢势的全导数，并验证推导中用到的矢量恒等式。
第 1 步：定义拉格朗日量
对于一个质量为 $m$、电荷为 $q$ 的带电粒子，它在由矢势 $vec{A}(vec{x},t)$ 和标势 $phi(vec{x},t)$ 描述的电磁场中运动，其拉格朗日量为
\[L = frac{1}{2}mdot{vec{x}}cdotdot{vec{x}} + qdot{vec{x}}cdotvec{A} - qphi .\]
这里 $dot{vec{x}}$ 是粒子的速度，点号表示对时间求导。
第 2 步：计算 $partial L / partial dot{vec{x}}$
拉格朗日量对速度的导数为
\[frac{partial L}{partial dot{vec{x}}} = mdot{vec{x}} + qvec{A}.\]
这个量是正则动量。它与机械动量 $mdot{vec{x}}$ 的差别在于电磁项 $qvec{A}$。
第 3 步：推导矢量恒等式
我们将使用恒等式
\[nabla(vec{U}cdotvec{V}) = (vec{U}cdotnabla)vec{V} + (vec{V}cdotnabla)vec{U} + vec{U}times(nablatimesvec{V}) + vec{V}times(nablatimesvec{U}).\]
在本推导中，取 $vec{U}=dot{vec{x}}$ 且 $vec{V}=vec{A}$。当对 $vec{x}$ 取 $nabla$ 时，速度 $dot{vec{x}}$ 被视为与位置无关，因此
\[(vec{A}cdotnabla)dot{vec{x}}=0,
qquad
nablatimesdot{vec{x}}=0.\]
因此，该恒等式化简为
\[nabla(dot{vec{x}}cdotvec{A}) = (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + dot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
第 4 步：计算 $partial L / partial vec{x}$
现在计算 $L$ 对 $vec{x}$ 的偏导数。动能项不显含 $vec{x}$，因此只有势能相关项有贡献：
\[frac{partial L}{partial vec{x}}
= nablaleft(qdot{vec{x}}cdotvec{A} - qphiright).\]
标势项给出
\[nabla(-qphi) = -qnablaphi.\]
利用上面化简后的矢量恒等式，矢势项给出
\[nabla(qdot{vec{x}}cdotvec{A})
= q(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
合并两项，得到
\[frac{partial L}{partial vec{x}}
= -qnablaphi + q(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
第 5 步：使用欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程为
\[frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{vec{x}}}right) - frac{partial L}{partial vec{x}} = 0.\]
由第 2 步可得
\[frac{d}{dt}left(mdot{vec{x}}+qvec{A}right)
= mddot{vec{x}} + qfrac{dvec{A}}{dt}.\]
由于 $vec{A}$ 同时依赖于 $t$ 和粒子位置 $vec{x}(t)$，它的时间全导数为
\[frac{dvec{A}}{dt}
= frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}.\]
因此，
\[frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{vec{x}}}right)
= mddot{vec{x}} + qleft(frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}right).\]
第 6 步：代入并化简
将计算得到的两项代入欧拉-拉格朗日方程：
\[mddot{vec{x}} + qleft(frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}right)
-
left[-qnablaphi + q(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A} + qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A})right]
=0.\]
展开并消去重复的 $(dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}$ 项，得到
\[mddot{vec{x}} + qfrac{partialvec{A}}{partial t} + qnablaphi - qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}) = 0.\]
重新整理：
\[mddot{vec{x}}
= qleft(-nablaphi - frac{partialvec{A}}{partial t}right)
+ qdot{vec{x}}times(nablatimesvec{A}).\]
使用标准定义
\[vec{E} = -nablaphi - frac{partialvec{A}}{partial t},
qquad
vec{B} = nablatimesvec{A},\]
我们得到洛伦兹力定律：
\[mddot{vec{x}} = qleft(vec{E}+dot{vec{x}}timesvec{B}right).\]
等价地，由于 $vec{F}=mddot{vec{x}}$ 且 $vec{v}=dot{vec{x}}$，
\[vec{F}=q(vec{E}+vec{v}timesvec{B}).\]
补充：推导全导数
矢量场 $vec{A}(t,vec{x}(t))$ 的全导数定义为
\[frac{dvec{A}}{dt}
= lim_{Delta tto 0}
frac{vec{A}(t+Delta t,vec{x}(t+Delta t))-vec{A}(t,vec{x}(t))}{Delta t}.\]
在 $(t,vec{x}(t))$ 附近使用一阶泰勒展开：
\[vec{A}(t+Delta t,vec{x}(t+Delta t))
approx
vec{A}(t,vec{x}(t))
+ Delta tfrac{partialvec{A}}{partial t}
+ Deltavec{x}cdotnablavec{A},\]
其中
\[Deltavec{x}=vec{x}(t+Delta t)-vec{x}(t).\]
代入极限，得到
\[frac{dvec{A}}{dt}
= lim_{Delta tto 0}
left(
frac{partialvec{A}}{partial t}
+ frac{Deltavec{x}}{Delta t}cdotnablavec{A}
right).\]
由于
\[lim_{Delta tto 0}frac{Deltavec{x}}{Delta t}=dot{vec{x}},\]
我们得到
\[frac{dvec{A}}{dt}
= frac{partialvec{A}}{partial t} + (dot{vec{x}}cdotnabla)vec{A}.\]
补充：在三维中验证矢量恒等式
令
\[vec{U}=U_xhat{i}+U_yhat{j}+U_zhat{k},
qquad
vec{V}=V_xhat{i}+V_yhat{j}+V_zhat{k},\]
其中每个分量都可以依赖于 $(x,y,z)$。点积为
\[vec{U}cdotvec{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.\]
$nabla(vec{U}cdotvec{V})$ 的 $x$ 分量是
\[partial_x(U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z)
= V_xpartial_xU_x+V_ypartial_xU_y+V_zpartial_xU_z
+ U_xpartial_xV_x+U_ypartial_xV_y+U_zpartial_xV_z.\]
现在计算右侧的 $x$ 分量：
\[[(vec{U}cdotnabla)vec{V}]_x
= U_xpartial_xV_x+U_ypartial_yV_x+U_zpartial_zV_x,\]
\[[(vec{V}cdotnabla)vec{U}]_x
= V_xpartial_xU_x+V_ypartial_yU_x+V_zpartial_zU_x,\]
\[[vec{U}times(nablatimesvec{V})]_x
= U_y(partial_xV_y-partial_yV_x)-U_z(partial_zV_x-partial_xV_z),\]
以及
\[[vec{V}times(nablatimesvec{U})]_x
= V_y(partial_xU_y-partial_yU_x)-V_z(partial_zU_x-partial_xU_z).\]
将这四个表达式相加后，含有 $partial_yV_x$、$partial_zV_x$、$partial_yU_x$ 和 $partial_zU_x$ 的项相互抵消，剩下的正好是
\[partial_x(U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z).\]
$y$ 和 $z$ 分量可以用同样方式得到，因此完整的矢量恒等式得证。
结论
从电磁拉格朗日量
\[L = frac{1}{2}mdot{vec{x}}^2 + qdot{vec{x}}cdotvec{A} - qphi,\]
出发，欧拉-拉格朗日方程给出
\[mddot{vec{x}} = q(vec{E}+dot{vec{x}}timesvec{B}).\]
电场力来自标势以及矢势对时间的显式依赖，而磁场力来自矢势的旋度。
