两条定律的故事：费马与斯涅尔的迷人交汇

费马原理：序曲

故事始于费马原理。它说的是，光在两点之间所走的路径，是使传播时间取驻值的路径。在最简单的情形中，这就是用时最短的路径；但更稳健的表述是：对路径作一个很小的变分，不会在一阶上改变传播时间。

从根本上说，这一原理是关于光传播的一个优化命题。描述界面折射的斯涅尔定律，可以直接由它推出。

舞台：光路的几何

设想一束光在空气中传播，进入一块玻璃板，并继续在玻璃中前进。由于光在两种介质中的速度不同，用时最短的路径通常并不等同于距离最短的路径。

我们把几何关系描述如下：

1. 是光进入玻璃前在空气中传播的距离，其长度为 。
2. 是光最初进入玻璃板时的偏移量，其长度为 $b$。
3. 是光进一步深入玻璃的可变距离 $x$。
4. 是玻璃板的宽度，其长度为 。

光在空气中的速度为 ，在玻璃中的速度为 。

时间方程

对于光从 传播到 ，再到 上某一点 ，总时间 $T$ 为：

![[T = frac{sqrt{a^2 + (b+x)^2}}{c_a} + frac{sqrt{w^2 + left(frac{wb}{a} - xright)^2}}{c_g}]](../images/quicklatex.com-e4191fcba685a9f044ec4d9be3751c5f_l3.png)

第一项是在空气中花费的时间，第二项是在玻璃中花费的时间。

光的微积分

费马原理的关键，是找出使 $T$ 取驻值的 $x$。在数学上，这意味着对 $T$ 关于 $x$ 求导，并令结果为零：

![[frac{dT}{dx} = frac{x - frac{bw}{a}}{c_g sqrt{w^2 + left(x - frac{bw}{a}right)^2}} + frac{b+x}{c_a sqrt{a^2 + (b+x)^2}} = 0]](../images/quicklatex.com-cf87ec9274e8cfe351c439296efca10f_l3.png)

整理各项得到：

![[c_a (x - frac{bw}{a}) sqrt{a^2 + (b+x)^2} = - c_g (b+x) sqrt{w^2 + left(x - frac{bw}{a}right)^2}]](../images/quicklatex.com-c186f2d1c71cf23efd9de577e975913f_l3.png)

这个方程已经包含了折射的几何内容：横向偏移量与路径长度之比，正是相应角度的正弦。

盛大的终章：斯涅尔定律

现在引入真空中的光速 。空气和玻璃的折射率与光速之间满足

![[c_a = frac{c}{n_a}, qquad c_g = frac{c}{n_g}.]](../images/quicklatex.com-9dd2091870ed1e8e78fc428c633aeb3d_l3.png)

把这些关系代入驻时条件，就得到斯涅尔定律的熟悉形式：

![[n_a sin theta_a = n_g sin theta_g.]](../images/quicklatex.com-32416ea023aea0689b9e8232fb407e19_l3.png)

这里， 和 分别是空气和玻璃的折射率，而 和 则是光线在两种介质中与法线所成的角。

因此，从“光选择传播时间取驻值的路径”这一简单前提出发，一条定律便浮现出来，解释了从彩虹的颜色到光在光纤中传导等广泛的光学现象。在物理学的宏大剧场中，斯涅尔定律与费马原理并不只是方程，而是描述同一场光之芭蕾的两种方式。