フェルマーの原理：序幕
物語はフェルマーの原理から始まる。この原理は、二点間を進む光が取る経路は、移動時間が停留する経路である、というものだ。最も単純な場合にはそれは最短時間の経路であるが、より堅固な言い方をすれば、経路をわずかに変化させても、移動時間は一次の範囲では変化しない、ということである。
その核心にあるのは、光の伝播についての最適化の主張である。界面での屈折を記述するスネルの法則は、この原理から直接導くことができる。
舞台：光路の幾何
光線が空気中を進み、ガラス板に入り、そのままガラス中を進む様子を想像しよう。光は二つの媒質中で異なる速さで進むため、最短時間の経路は一般には最短距離の経路とは一致しない。
幾何を次のように記述する。
は、光がガラスに入る前に空気中を進む距離であり、その長さは 
である。
は、ガラス板へ最初に入射する際のずれであり、その長さは $b$ である。
は、光がさらにガラス中へ入り込む可変距離 $x$ である。
はガラス板の幅であり、その長さは 
である。
空気中の光速を 
、ガラス中の光速を 
とする。
時間の方程式
光が 
から 
へ進み、さらに 
上のある点 
へ進むとき、全時間 $T$ は次で与えられる。
![[T = frac{sqrt{a^2 + (b+x)^2}}{c_a} + frac{sqrt{w^2 + left(frac{wb}{a} - xright)^2}}{c_g}]](../images/quicklatex.com-e4191fcba685a9f044ec4d9be3751c5f_l3.png)
第一項は空気中で費やされる時間であり、第二項はガラス中で費やされる時間である。
光の微積分
フェルマーの原理の要点は、$T$ を停留させる $x$ の値を見つけることにある。数学的には、これは $T$ を $x$ で微分し、その結果をゼロに等しいと置くことを意味する。
![[frac{dT}{dx} = frac{x - frac{bw}{a}}{c_g sqrt{w^2 + left(x - frac{bw}{a}right)^2}} + frac{b+x}{c_a sqrt{a^2 + (b+x)^2}} = 0]](../images/quicklatex.com-cf87ec9274e8cfe351c439296efca10f_l3.png)
項を整理すると、次を得る。
![[c_a (x - frac{bw}{a}) sqrt{a^2 + (b+x)^2} = - c_g (b+x) sqrt{w^2 + left(x - frac{bw}{a}right)^2}]](../images/quicklatex.com-c186f2d1c71cf23efd9de577e975913f_l3.png)
この方程式は、すでに屈折の幾何学的内容を表している。横方向のずれと経路長との比が、対応する角の正弦になっているのである。
大団円：スネルの法則
ここで真空中の光速 
を導入する。空気とガラスの屈折率は、それぞれの媒質中の光速と次のように関係している。
![[c_a = frac{c}{n_a}, qquad c_g = frac{c}{n_g}.]](../images/quicklatex.com-9dd2091870ed1e8e78fc428c633aeb3d_l3.png)
これらの関係を停留時間条件に代入すると、よく知られたスネルの法則の形が得られる。
![[n_a sin theta_a = n_g sin theta_g.]](../images/quicklatex.com-32416ea023aea0689b9e8232fb407e19_l3.png)
ここで 
と 
は空気とガラスの屈折率であり、 と は、それぞれの媒質中で光線が法線となす角である。
このように、光は移動時間が停留する経路を選ぶという単純な前提から、虹の色から光ファイバーによる光の導波に至るまで、幅広い光学現象を説明する法則が現れる。物理学という大きな劇場において、スネルの法則とフェルマーの原理は単なる方程式ではなく、同じ光の舞踏を記述する二つの方法なのである。