一组傅里叶变换练习

问题 1

求下列信号的傅里叶变换。提示：充分利用 函数。

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caption{问题 1 中信号的时域表示。}
end{figure}

答案：

我们先推导缩放三角函数 的傅里叶变换。采用傅里叶变换约定

![[mathcal{F}{f(x)}(s)=int_{-infty}^{infty} f(x)e^{-i2pi sx},dx,]](../images/quicklatex.com-7469763b97eee912bf6ab82ca47ceb62_l3.png)

以及归一化定义 ，可得

![[begin{align} mathcal{F}left{Lambdaleft(frac{x}{c}right)right} &= int_{-c}^{c} Lambdaleft(frac{x}{c}right)e^{-i2pi sx},dx. end{align}]](../images/quicklatex.com-7a4316fbb2df231960c74279ff9ef09f_l3.png)

令 ，则 ，且 。于是

![[begin{align} mathcal{F}left{Lambdaleft(frac{x}{c}right)right} &= cint_{-1}^{1}Lambda(y)e^{-i2pi(sc)y},dy \ &= c,mathbf{sinc}^2(cs). end{align}]](../images/quicklatex.com-7a4316fbb2df231960c74279ff9ef09f_l3.png)

利用傅里叶变换的平移性质，

![[ g(t-b) xleftrightarrow{mathcal{F}} e^{-j2pi bs}G(s), ]](../images/quicklatex.com-7469763b97eee912bf6ab82ca47ceb62_l3.png)

可得到 的一般形式：

![[ mathcal{F}left{aLambdaleft(frac{x-b}{c}right)right}=ac,e^{-j2pi bs}mathbf{sinc}^2(cs). ]](../images/quicklatex.com-6e1e6949b6462642244daa56b6f6e559_l3.png)

将该公式应用于问题 1 中的信号，得到

![[begin{align} mathcal{F}left{2Lambdaleft(frac{x-2}{2}right)+2.5Lambdaleft(frac{x-4}{2}right)right} &= 4e^{-j4pi s}mathbf{sinc}^2(2s)+5e^{-j8pi s}mathbf{sinc}^2(2s) \ &= left(4e^{-j4pi s}+5e^{-j8pi s}right)mathbf{sinc}^2(2s). end{align}]](../images/quicklatex.com-9720ee1e0d96e06cedf2164f5dc432fa_l3.png)

因此，给定信号的傅里叶变换为

![[boxed{X(s)=left(4e^{-j4pi s}+5e^{-j8pi s}right)mathbf{sinc}^2(2s)}.]](../images/quicklatex.com-9720ee1e0d96e06cedf2164f5dc432fa_l3.png)

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hbox{

hspace{1cm}

}
caption{ 的傅里叶变换：实部和虚部。}
label{fig:fourier_transform_2D}
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