問題 1
次の信号のフーリエ変換を求めよ。ヒント: 
関数をうまく利用すること。
begin{figure}[h]
centering
caption{問題 1 の信号の時間領域表現。}
end{figure}
解答:
まず、スケーリングされた三角関数 
のフーリエ変換を導出する。フーリエ変換の定義を
![[mathcal{F}{f(x)}(s)=int_{-infty}^{infty} f(x)e^{-i2pi sx},dx,]](../images/quicklatex.com-7469763b97eee912bf6ab82ca47ceb62_l3.png)
とし、正規化された定義 
を用いると、次のようになる。
![[begin{align} mathcal{F}left{Lambdaleft(frac{x}{c}right)right} &= int_{-c}^{c} Lambdaleft(frac{x}{c}right)e^{-i2pi sx},dx. end{align}]](../images/quicklatex.com-7a4316fbb2df231960c74279ff9ef09f_l3.png)
とおくと、
、
である。したがって、
![[begin{align} mathcal{F}left{Lambdaleft(frac{x}{c}right)right} &= cint_{-1}^{1}Lambda(y)e^{-i2pi(sc)y},dy &= c,mathbf{sinc}^2(cs). end{align}]](../images/quicklatex.com-7a4316fbb2df231960c74279ff9ef09f_l3.png)
フーリエ変換のシフト性質
![[ g(t-b) xleftrightarrow{mathcal{F}} e^{-j2pi bs}G(s), ]](../images/quicklatex.com-7469763b97eee912bf6ab82ca47ceb62_l3.png)
を用いると、 に対する一般形は次のように得られる。
![[ mathcal{F}left{aLambdaleft(frac{x-b}{c}right)right}=ac,e^{-j2pi bs}mathbf{sinc}^2(cs). ]](../images/quicklatex.com-6e1e6949b6462642244daa56b6f6e559_l3.png)
この公式を問題 1 の信号に適用すると、
![[begin{align} mathcal{F}left{2Lambdaleft(frac{x-2}{2}right)+2.5Lambdaleft(frac{x-4}{2}right)right} &= 4e^{-j4pi s}mathbf{sinc}^2(2s)+5e^{-j8pi s}mathbf{sinc}^2(2s) &= left(4e^{-j4pi s}+5e^{-j8pi s}right)mathbf{sinc}^2(2s). end{align}]](../images/quicklatex.com-9720ee1e0d96e06cedf2164f5dc432fa_l3.png)
したがって、与えられた信号のフーリエ変換は
![[boxed{X(s)=left(4e^{-j4pi s}+5e^{-j8pi s}right)mathbf{sinc}^2(2s)}.]](../images/quicklatex.com-9720ee1e0d96e06cedf2164f5dc432fa_l3.png)
である。
begin{figure}[h]
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hbox{
hspace{1cm}
}
caption{ のフーリエ変換: 実部と虚部。}
label{fig:fourier_transform_2D}
end{figure}