经典力学第 1 讲：状态、运动定律与可逆性

伦纳德·萨斯坎德的经典力学第一讲有个出人意料的开场：他没有先写下 \(F=ma\)，而是从一枚硬币讲起。

硬币把力学压缩成两个问题：什么信息构成状态？什么规则把这一状态带到下一时刻？想明白这两点以后，位置、速度、向量和微分方程才有了安放的位置。

状态与定律

把一枚硬币放在桌上，只考虑正面和反面两种状态。可以规定一条简单的定律：

  • 正面变为反面；
  • 反面变为正面。

如果硬币从正面开始，它的历史就是

\[H rightarrow T rightarrow H rightarrow T rightarrow cdots\]

初始条件告诉我们从哪里开始，定律告诉我们如何从一个状态走到下一个状态。两者合在一起，便决定了整个序列。

这个小模型也说明：状态必须包含足够的信息，定律才能起作用。假如规则不仅取决于当前一面，还取决于上一步是哪一面，那么单独写“正面”就不再是完整状态。我们需要把状态扩充成类似 \((T,H)\) 的形式：上一步是反面，当前是正面。

这就是力学中一个实用的状态定义：给定定律以后，足以确定下一步的信息。

决定性不等于可逆性

一条决定性的定律会为每个当前状态给出唯一的下一状态。可逆的定律还允许我们从当前状态唯一地找回上一状态。

上面的翻面规则两者兼具。但如果另定一条规则，让正面和反面下一步都变成正面，未来仍然是确定的；可是看到正面时，我们无法知道此前是哪一面。信息丢失了，所以这条规则不可逆。

经典力学中许多基础模型采用可逆映射：只要状态足够完整，就能唯一地向前或向后演化。不过，可逆映射不等于时间反演对称；带耗散或速度相关作用的有效定律需要另作分析。日常宏观事件的不可逆性很大程度上是统计性的：粗粒化描述隐藏了摩擦与热所牵涉的大量微观自由度。

决定性也不保证我们能作出有用的长期预测。初始状态中极小的误差可能不断放大。定律可以很精确，而我们对状态的测量却不可能无限精确。因此，“未来由现在推出”是数学模型的性质，并不等于我们可以永远准确预报一切。

从硬币到粒子

对于沿直线运动的粒子，只有位置 \(x\) 还不够。两个粒子可能经过同一点，却朝相反方向运动。在初等牛顿力学中，我们再加入速度 \(v\)，于是状态可以写成

\[(x,v).\]

粒子在三维空间中运动时，位置和速度都是向量：

\[mathbf r=(x,y,z), qquad mathbf v=frac{dmathbf r}{dt}.\]

加速度是速度的变化率：

\[mathbf a=frac{dmathbf v}{dt}=frac{d^2mathbf r}{dt^2}.\]

“变化”二字很重要。圆周运动的速率可以保持不变，但速度方向一直在变，所以速度向量也一直在变。如果

\[mathbf r(t)=R(cos omega t,sin omega t),\]

那么

\[mathbf v(t)=Romega(-sin omega t,cos omega t)\]

沿圆的切线方向，而

\[mathbf a(t)=-omega^2mathbf r(t)\]

始终指向圆心。

对于多粒子系统，状态要列出每个粒子的相应变量。所有可能状态的集合叫作状态空间。在哈密顿力学中，由位置和共轭动量专门构成的空间叫作相空间。对于采用标准动能且没有速度相关势的简单笛卡尔坐标粒子，\(mathbf p=mmathbf v\)。更一般地说，正则动量可能不同于机械动量，因此相空间用动量来定义，不能在所有情形下都把速度与动量视为可以互换。

三个小练习

先别看答案，试着自己完成。

  1. 一个三状态系统遵循 \(Ato B\)、\(Bto C\)、\(Cto A\)。从 \(B\) 开始，五步以后处于哪个状态？这条定律可逆吗？
  2. 一个程序根据当前位置和面朝方向，向左或向右移动一格。只有位置能构成完整状态吗？
  3. 设 \(mathbf r(t)=(t^2,3t,2)\)。求 \(mathbf v(t)\) 和 \(mathbf a(t)\)。

简要核对：

  1. \(Bto Cto Ato Bto Cto A\)，所以答案是 \(A\)。每个状态都有唯一的前一状态，因此这条定律可逆。
  2. 不能。还必须记录方向；\((x,text{方向})\) 才是合适的状态。
  3. \(mathbf v(t)=(2t,3,0)\)，\(mathbf a(t)=(2,0,0)\)。

怎样学习这一讲

先看 Stanford 官方的第一讲，然后关掉视频，用自己的符号重建硬币模型。试着解释决定性与可逆性为何不同，并亲手推导圆周运动中的向量，不要只重读现成推导。

需要练习时，可以使用 MIT OpenCourseWare 8.01 习题。如果向量或运动学需要更慢的第二遍讲解，OpenStax University Physics 是很实用的参考。

我也维护着一份可检索的萨斯坎德字幕、转录、笔记、TeX 与 PDF 档案。看完讲座以后，它很适合用来定位某段内容；其中自动生成的配套资料是导航工具，不能取代官方录像。

如果讲座是你自己的，双语讲座学习包可以把同样的“先看来源”流程用于一段最长 20 分钟的录像：一个目标语言，以及可核对的转录、口袋学习册、字幕和预览片段。

2019 年发布的原文只有“State”一个词。这次重写以 Stanford 官方第一讲为依据，并保留了最初的发布日期。

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