欢迎回来，各位量子力学同好。我们在 Quantum Field Theory for the Gifted Amateur 中的旅程来到了习题 1.5。在这里，我们考察一个三维弹性介质，并从作用量原理出发，说明它的标量位移场满足波动方程。
铺设背景：弹性介质与能量
考虑一个由标量场 $psi(mathbf{x}, t)$ 描述的弹性介质。这个介质由两个关键能量刻画：势能 $V$ 和动能 $T$：
\[V = frac{mathcal{T}}{2} int d^3x, (nabla psi)^2\]
\[T = frac{rho}{2} int d^3x, left( frac{partial psi}{partial t} right)^2\]
这里 $mathcal{T}$ 是弹性刚度参数，$rho$ 是质量密度。势能衡量空间形变的代价，而动能衡量随时间变化的代价。
拉格朗日量
拉格朗日量 $L$ 是经典力学中的一个核心概念，它等于动能与势能之差：
\[L = T - V\]
对这个场而言，这意味着
\[L = int d^3x, left[ frac{rho}{2} left(frac{partial psi}{partial t}right)^2 - frac{mathcal{T}}{2} (nabla psi)^2 right].\]
作用量
作用量 $A$ 定义为拉格朗日量对时间的积分：
\[A = int (T - V), dt\]
或者等价地，
\[A = int dt int d^3x, left[ frac{rho}{2} left(frac{partial psi}{partial t}right)^2 - frac{mathcal{T}}{2} (nabla psi)^2 right].\]
经典场构型就是在 $psi$ 的小变分下使作用量取驻值的构型。
运动方程
泛函变分
我们的目标是通过取泛函导数 $delta A / delta psi$ 并令其等于零，来求出运动方程。令场作如下变化：
\[psi rightarrow psi + delta psi.\]
作用量的一阶变化为
\[delta A = int dt int d^3x, left[ rho frac{partial psi}{partial t} frac{partial (delta psi)}{partial t} - mathcal{T} nabla psi cdot nabla (delta psi) right].\]
分部积分
现在分别对时间和空间作分部积分。假设变分在时间端点以及空间边界上为零，则边界项消失。于是得到
\[delta A = int dt int d^3x, left[ -rho frac{partial^2 psi}{partial t^2} + mathcal{T} nabla^2 psi right] delta psi.\]
为了使作用量对任意 $delta psi$ 都取驻值，$delta psi$ 的系数必须为零：
\[-rho frac{partial^2 psi}{partial t^2} + mathcal{T} nabla^2 psi = 0.\]
等价地，
\[rho frac{partial^2 psi}{partial t^2} - mathcal{T} nabla^2 psi = 0.\]
最终的波动方程
解出空间拉普拉斯项，就得到波动方程：
\[nabla^2 psi = frac{rho}{mathcal{T}} frac{partial^2 psi}{partial t^2}.\]
由于波速为
\[v = sqrt{frac{mathcal{T}}{rho}},\]
我们也可以写成
\[nabla^2 psi = frac{1}{v^2} frac{partial^2 psi}{partial t^2}.\]
因此，场 $psi(mathbf{x}, t)$ 满足三维波动方程，其中 $v$ 是波的传播速度。
总结
这道习题展示了弹性介质的能量如何自然地导向一个场的拉格朗日量，以及驻定作用量原理如何产生波动方程。同样的逻辑也是场论中反复出现的模式之一：写下作用量，对场作变分，在适当条件下舍去边界项，然后读出运动方程。