量子力学を愛する皆さん、お帰りなさい。Quantum Field Theory for the Gifted Amateur をたどる旅は、演習 1.5 まで来ました。ここでは三次元の弾性媒質を考え、そのスカラー変位場が作用原理から波動方程式に従うことを示します。
舞台設定：弾性媒質とエネルギー
スカラー場 $psi(mathbf{x}, t)$ で記述される弾性媒質を考えます。この媒質は、ポテンシャルエネルギー $V$ と運動エネルギー $T$ という二つの重要なエネルギーによって特徴づけられます。
\[V = frac{mathcal{T}}{2} int d^3x, (nabla psi)^2\]
\[T = frac{rho}{2} int d^3x, left( frac{partial psi}{partial t} right)^2\]
ここで $mathcal{T}$ は弾性的な剛性パラメータ、$rho$ は質量密度です。ポテンシャルエネルギーは空間的な変形のコストを測り、運動エネルギーは時間変化のコストを測ります。
ラグランジアン
古典力学における基礎概念であるラグランジアン $L$ は、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差です。
\[L = T - V\]
この場については、これは次の意味になります。
\[L = int d^3x, left[ frac{rho}{2} left(frac{partial psi}{partial t}right)^2 - frac{mathcal{T}}{2} (nabla psi)^2 right].\]
作用
作用 $A$ は、ラグランジアンを時間について積分したものとして定義されます。
\[A = int (T - V), dt\]
あるいは同値に、
\[A = int dt int d^3x, left[ frac{rho}{2} left(frac{partial psi}{partial t}right)^2 - frac{mathcal{T}}{2} (nabla psi)^2 right].\]
古典的な場の配置は、$psi$ の微小変分のもとで作用が停留する配置です。
運動方程式
汎関数変分
ここでは汎関数微分 $delta A / delta psi$ を取り、それをゼロに等しいと置くことで運動方程式を求めます。場を次のように変化させます。
\[psi rightarrow psi + delta psi.\]
作用の一次の変化は、
\[delta A = int dt int d^3x, left[ rho frac{partial psi}{partial t} frac{partial (delta psi)}{partial t} - mathcal{T} nabla psi cdot nabla (delta psi) right].\]
部分積分
次に、時間と空間の両方について部分積分します。変分が時間端点および空間境界で消えると仮定すれば、境界項は消えます。すると、
\[delta A = int dt int d^3x, left[ -rho frac{partial^2 psi}{partial t^2} + mathcal{T} nabla^2 psi right] delta psi.\]
任意の $delta psi$ に対して作用が停留するためには、$delta psi$ の係数が消えなければなりません。
\[-rho frac{partial^2 psi}{partial t^2} + mathcal{T} nabla^2 psi = 0.\]
同値に、
\[rho frac{partial^2 psi}{partial t^2} - mathcal{T} nabla^2 psi = 0.\]
最終的な波動方程式
空間ラプラシアンについて解くと、波動方程式が得られます。
\[nabla^2 psi = frac{rho}{mathcal{T}} frac{partial^2 psi}{partial t^2}.\]
波の速さは
\[v = sqrt{frac{mathcal{T}}{rho}},\]
なので、次のようにも書けます。
\[nabla^2 psi = frac{1}{v^2} frac{partial^2 psi}{partial t^2}.\]
したがって、場 $psi(mathbf{x}, t)$ は三次元波動方程式に従い、$v$ が波の速度となります。
まとめ
この演習は、弾性媒質のエネルギーが自然に場のラグランジアンへ導かれ、停留作用の原理がどのように波動方程式を生み出すかを示しています。同じ論理は場の理論で繰り返し現れるパターンの一つです。作用を書き下し、場を変分し、適切な条件のもとで境界項を捨て、運動方程式を読み取るのです。
