欢迎阅读这个关于傅里叶变换及其应用的实践系列第一篇。作为一名正在深入学习这门课程的人，我发现同时探索傅里叶变换的数学基础和实际用途非常有趣。今天，我们将一起处理一个巧妙使用 $Lambda(cdot)$ 函数的问题。
问题：变换一个独特信号
我们的第一个问题是：下面这个信号的傅里叶变换是什么？其时域表示如下图所示：
该信号是两个经过缩放和平移的 $Lambda$ 函数之和：
![[2Lambdaleft(frac{x - 2}{2}right) + 2.5Lambdaleft(frac{x - 4}{2}right)]](../images/quicklatex.com-b0f6260f1b6510207251aa53f96b2c73_l3.png)
等价地，
探索 $Lambda(x)$
在解决主问题之前，我们先回顾缩放三角函数 $Lambdaleft(frac{x}{c}right)$ 的傅里叶变换。
采用如下傅里叶变换约定：
缩放三角函数的变换为
![[mathcal{F}left(Lambdaleft(frac{x}{c}right)right) = int_{-c}^{c} Lambdaleft(frac{x}{c}right) e^{-i 2 pi s x} dx quad text{(1)}]](../images/quicklatex.com-05b79106320954fb7eef89c3f87aaaf5_l3.png)
令 $y = frac{x}{c}$，因此 $x = cy$ 且 $dx = c,dy$，上式变为
由于在这一约定下 $mathcal{F}{Lambda(x)}(s) = mathbf{sinc}^2(s)$，我们得到
![[mathcal{F}left(Lambda(y)right) = c mathbf{sinc}^2(cs) quad text{(2)}]](../images/quicklatex.com-ecb2d36ab9f5f25c720e90f49837e3e8_l3.png)
更准确地说，
其中 $mathbf{sinc}(s)=frac{sin(pi s)}{pi s}$。
推广傅里叶变换
接下来，我们使用傅里叶变换的平移性质：
![[g(t-b) xleftrightarrow{} e^{-j 2 pi b s} G(s)]](../images/quicklatex.com-0678d84a6b349d115d898146cb781849_l3.png)
因此，对于一个经过缩放和平移的三角函数，
![[mathcal{F}left(aLambdaleft(frac{x-b}{c}right)right) = a c , e^{-j 2 pi b s} mathbf{sinc}^2(cs) quad text{(3)}]](../images/quicklatex.com-f5d841f9702b9b603e9c647345c29bac_l3.png)
或者用行内形式表示为，
解题
对于第一项，
所以
对于第二项，
所以
根据线性性，完整信号的傅里叶变换为
![[mathcal{F}left(2Lambdaleft(frac{x-2}{2}right) + 2.5Lambdaleft(frac{x-4}{2}right)right) = 4 e^{-j 4 pi s} mathbf{sinc}^2(2s) + 5 e^{-j 8 pi s} mathbf{sinc}^2(2s) quad text{(4)}]](../images/quicklatex.com-546cfaf2c99a9b6a1325fce56d5f98b1_l3.png)
也就是说，
它也可以因式分解为
下面是该信号傅里叶变换的可视化表示，展示了其实部和虚部：
结论
我们已经求解了一个由平移和缩放三角函数构成的信号的傅里叶变换。关键工具包括 $Lambda(x)$ 的已知变换对、缩放性质、平移性质以及线性性。这些规则结合起来，可以把一个乍看复杂的信号化简为若干带相位平移的 $mathbf{sinc}^2$ 项的直接组合。
随着本系列继续，我们将探索更多傅里叶变换的例子和应用。在此之前，继续变换吧。