フーリエ変換とその応用に関する実践シリーズの第1回へようこそ。私はこのテーマの講義に深く取り組んでいるところですが、フーリエ変換の数学的基礎と実用的な使い方の両方を探っていくことに強い面白さを感じています。今日は、$Lambda(cdot)$ 関数を創造的に利用する問題を解いていきます。
問題：特徴的な信号を変換する
最初の問いは、次の信号のフーリエ変換は何か、というものです。時間領域での表現を以下に示します。
この信号は、2つのスケーリングされシフトされた $Lambda$ 関数の和です。
![[2Lambdaleft(frac{x - 2}{2}right) + 2.5Lambdaleft(frac{x - 4}{2}right)]](../images/quicklatex.com-b0f6260f1b6510207251aa53f96b2c73_l3.png)
同値に、
$Lambda(x)$ を確認する
主問題を解く前に、スケーリングされた三角関数 $Lambdaleft(frac{x}{c}right)$ のフーリエ変換を復習しておきましょう。
フーリエ変換の定義として
を用いると、スケーリングされた三角関数の変換は
![[mathcal{F}left(Lambdaleft(frac{x}{c}right)right) = int_{-c}^{c} Lambdaleft(frac{x}{c}right) e^{-i 2 pi s x} dx quad text{(1)}]](../images/quicklatex.com-05b79106320954fb7eef89c3f87aaaf5_l3.png)
となります。$y = frac{x}{c}$ と置換すると、$x = cy$、$dx = c,dy$ なので、これは
この定義のもとでは $mathcal{F}{Lambda(x)}(s) = mathbf{sinc}^2(s)$ であるため、次を得ます。
![[mathcal{F}left(Lambda(y)right) = c mathbf{sinc}^2(cs) quad text{(2)}]](../images/quicklatex.com-ecb2d36ab9f5f25c720e90f49837e3e8_l3.png)
より正確には、
ただし $mathbf{sinc}(s)=frac{sin(pi s)}{pi s}$ です。
フーリエ変換を一般化する
次に、フーリエ変換のシフト性を使います。
![[g(t-b) xleftrightarrow{} e^{-j 2 pi b s} G(s)]](../images/quicklatex.com-0678d84a6b349d115d898146cb781849_l3.png)
したがって、スケーリングされシフトされた三角関数については、
![[mathcal{F}left(aLambdaleft(frac{x-b}{c}right)right) = a c , e^{-j 2 pi b s} mathbf{sinc}^2(cs) quad text{(3)}]](../images/quicklatex.com-f5d841f9702b9b603e9c647345c29bac_l3.png)
またはインラインの形では、
問題を解く
第1項については、
なので、
第2項については、
なので、
線形性により、信号全体のフーリエ変換は
![[mathcal{F}left(2Lambdaleft(frac{x-2}{2}right) + 2.5Lambdaleft(frac{x-4}{2}right)right) = 4 e^{-j 4 pi s} mathbf{sinc}^2(2s) + 5 e^{-j 8 pi s} mathbf{sinc}^2(2s) quad text{(4)}]](../images/quicklatex.com-546cfaf2c99a9b6a1325fce56d5f98b1_l3.png)
となります。つまり、
これは次のように因数分解することもできます。
以下は、この信号のフーリエ変換を可視化したもので、実部と虚部を示しています。
結論
シフトされスケーリングされた三角関数から構成される信号のフーリエ変換を求めました。重要な道具は、$Lambda(x)$ に対する既知の変換対、スケーリング性、シフト性、そして線形性です。これらの規則を組み合わせることで、一見複雑に見える信号を、位相シフトされた $mathbf{sinc}^2$ 項の直接的な組み合わせへと簡約できます。
このシリーズでは今後も、フーリエ変換のさらなる例と応用を探っていきます。それではまた、変換を続けていきましょう。