想深入探索量子场论（QFT）错综复杂的世界吗？跟我一起剖析一个看似复杂的泛函导数，并得到一个紧凑的结果。
起点：我们的原始方程
在 QFT 的语境中，习题 1.6 给了我们一个很有用的挑战。它从一个泛函 $Z_0[J]$ 开始，其定义为：
\[Z_0[J]=exp left(-frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x) Delta(x-y) J(y)right).\]
它还给出了一个重要的对称条件：
\[Delta(x)=Delta(-x).\]
我们的目标是证明：
\[frac{delta Z_0[J]}{delta J(z_1)}=-left[int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y) J(y)right] Z_0[J].\]
推导开始：展开这个泛函
导数：从第一性原理出发
第一步是使用泛函导数的定义。令源在 $z_1$ 处受到一个 delta 函数探针的平移：
\[frac{delta Z_0[J]}{delta J(z_1)}
= lim_{epsilon rightarrow 0} frac{Z_0[J + epsilon delta(z_1,x)] - Z_0[J]}{epsilon}.\]
等价地，变分为 $J(x) mapsto J(x)+epsilon delta^{(4)}(x-z_1)$。习题中的记号用 $delta(z_1,x)$ 表示同一个 delta 函数。
深入展开式
现在考虑 $Z_0[J + epsilon delta(z_1,x)]$ 的含义。从
\[Z_0[J] = exp left( -frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x) Delta(x-y) J(y) right),\]
出发，我们代入平移后的源：
\[Z_0[J + epsilon delta]
=
exp left( -frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y,
[J(x)+ epsilon delta(z_1,x)] Delta(x-y) [J(y)+ epsilon delta(z_1,y)] right).\]
展开指数部分，会得到原来的二次项、两个关于 $epsilon$ 的一次项，以及一个 $epsilon^2$ 阶项：
\[begin{aligned}
&-frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y,
[J(x)+ epsilon delta(z_1,x)] Delta(x-y) [J(y)+ epsilon delta(z_1,y)] \
&= -frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x)Delta(x-y)J(y) \
&quad -frac{epsilon}{2}int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, delta(z_1,x)Delta(x-y)J(y) \
&quad -frac{epsilon}{2}int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x)Delta(x-y)delta(z_1,y)
+O(epsilon^2).
end{aligned}\]
第一个一次项是
\[int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, delta(z_1,x)Delta(x-y)J(y)
= int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y).\]
对于第二个一次项，先对 $y$ 积分：
\[int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x)Delta(x-y)delta(z_1,y)
= int mathrm{d}^4 x, J(x)Delta(x-z_1).\]
利用 $Delta(x)=Delta(-x)$，有 $Delta(x-z_1)=Delta(z_1-x)$，所以把哑变量 $x$ 改名为 $y$ 后，它变为
\[int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y).\]
因此，这两个相等的一次项与因子 $-1/2$ 合并，得到
\[Z_0[J + epsilon delta]
= Z_0[J]expleft(-epsilon int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)+O(epsilon^2)right).\]
保留到 $epsilon$ 的一阶，
\[Z_0[J + epsilon delta]
= Z_0[J]left(1-epsilon int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)+O(epsilon^2)right).\]
聚焦到解答
将这个展开式代入泛函导数的定义：
\[begin{aligned}
frac{delta Z_0[J]}{delta J(z_1)}
&= lim_{epsilon rightarrow 0} frac{Z_0[J+epsilon delta(z_1,x)] - Z_0[J]}{epsilon} \
&= lim_{epsilon rightarrow 0}
frac{Z_0[J]left(1-epsilon int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)+O(epsilon^2)right)-Z_0[J]}{epsilon} \
&= -left[int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)right] Z_0[J].
end{aligned}\]
这就证明了所需的恒等式。
为什么这很重要
这个习题虽小，却是高斯泛函在泛函微分下如何表现的一个重要例子。在自由场的生成泛函中，对源 $J$ 求导会拉下包含传播子 $Delta$ 的因子。这正是从生成泛函中提取关联函数的机制，也是量子场论中标准的计算工具之一。