量子場理論（QFT）の精緻な世界を深く掘り下げてみたいですか？一見複雑に見える汎関数微分を分解し、コンパクトな結果へたどり着く過程を一緒に追っていきましょう。
出発点：元の方程式
QFT の文脈で、演習 1.6 は有用な課題を提示しています。これは、次の方程式で記述される汎関数 $Z_0[J]$ から始まります。
\[Z_0[J]=exp left(-frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x) Delta(x-y) J(y)right).\]
さらに、重要な対称性条件が加えられています。
\[Delta(x)=Delta(-x).\]
私たちの目標は、次を証明することです。
\[frac{delta Z_0[J]}{delta J(z_1)}=-left[int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y) J(y)right] Z_0[J].\]
道のりの始まり：汎関数をほどく
微分：第一原理から始める
最初のステップは、汎関数微分の定義を使うことです。ソースを $z_1$ におけるデルタ関数のプローブでずらします。
\[frac{delta Z_0[J]}{delta J(z_1)}
= lim_{epsilon rightarrow 0} frac{Z_0[J + epsilon delta(z_1,x)] - Z_0[J]}{epsilon}.\]
同値に、この変分は $J(x) mapsto J(x)+epsilon delta^{(4)}(x-z_1)$ です。演習での記法では、同じデルタ関数を表すために $delta(z_1,x)$ が使われています。
展開を掘り下げる
次に、$Z_0[J + epsilon delta(z_1,x)]$ が何を意味するのかを考えます。まず、
\[Z_0[J] = exp left( -frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x) Delta(x-y) J(y) right),\]
から始め、ずらしたソースを代入します。
\[Z_0[J + epsilon delta]
=
exp left( -frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y,
[J(x)+ epsilon delta(z_1,x)] Delta(x-y) [J(y)+ epsilon delta(z_1,y)] right).\]
指数部分を展開すると、元の二次項、$epsilon$ に線形な 2 つの項、そして $epsilon^2$ の項が得られます。
\[begin{aligned}
&-frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y,
[J(x)+ epsilon delta(z_1,x)] Delta(x-y) [J(y)+ epsilon delta(z_1,y)]
&= -frac{1}{2} int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x)Delta(x-y)J(y)
&quad -frac{epsilon}{2}int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, delta(z_1,x)Delta(x-y)J(y)
&quad -frac{epsilon}{2}int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x)Delta(x-y)delta(z_1,y)
+O(epsilon^2).
end{aligned}\]
最初の線形項は、
\[int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, delta(z_1,x)Delta(x-y)J(y)
= int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y).\]
2 つ目の線形項については、まず $y$ で積分します。
\[int mathrm{d}^4 x, mathrm{d}^4 y, J(x)Delta(x-y)delta(z_1,y)
= int mathrm{d}^4 x, J(x)Delta(x-z_1).\]
$Delta(x)=Delta(-x)$ を用いると、$Delta(x-z_1)=Delta(z_1-x)$ なので、ダミー変数 $x$ を $y$ に名前変更すれば、これは次のようになります。
\[int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y).\]
したがって、等しい 2 つの線形項は係数 $-1/2$ と組み合わさり、
\[Z_0[J + epsilon delta]
= Z_0[J]expleft(-epsilon int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)+O(epsilon^2)right).\]
$epsilon$ の一次まででは、
\[Z_0[J + epsilon delta]
= Z_0[J]left(1-epsilon int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)+O(epsilon^2)right).\]
解へ絞り込む
この展開を汎関数微分の定義に代入します。
\[begin{aligned}
frac{delta Z_0[J]}{delta J(z_1)}
&= lim_{epsilon rightarrow 0} frac{Z_0[J+epsilon delta(z_1,x)] - Z_0[J]}{epsilon}
&= lim_{epsilon rightarrow 0}
frac{Z_0[J]left(1-epsilon int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)+O(epsilon^2)right)-Z_0[J]}{epsilon}
&= -left[int mathrm{d}^4 y, Delta(z_1-y)J(y)right] Z_0[J].
end{aligned}\]
これで、求める恒等式が証明されました。
なぜこれが重要なのか
この演習は、ガウス型汎関数が汎関数微分のもとでどのように振る舞うかを示す、小さいながら重要な例です。自由場の生成汎関数では、ソース $J$ で微分すると、プロパゲータ $Delta$ を含む因子が引き出されます。これが、生成汎関数から相関関数を取り出す背後にある仕組みであり、量子場理論における標準的な計算道具の一つです。
