在上一篇文章中，我们进入了泛函导数这个略显神秘的世界，并梳理了它在量子场论（QFT）这一始终引人入胜的领域中所扮演的角色。今天，我们继续这一探索，深入习题 1.4。它呈现了另一层微妙之处：当我们处理场的变分时，狄拉克 delta 函数是如何出现的。
问题陈述
今天的探索围绕两个看似简单、却极其重要的方程展开：
挑战在于证明这两个方程。它们描述了场的变分如何在空间和时间中的不同点之间相互作用。
求解之旅
问题 1：$phi(x)$ 与 $phi(y)$ 的情形
第 1 步：理解变分
要理解 $phi(y)$ 的变分如何影响 $phi(x)$，可以使用泛函导数的定义性质。场在 $y$ 处的一个小的局域变化可以表示为
在 $x$ 处计算这个受扰动的场，得到
因此，
第 2 步：狄拉克 delta 函数的作用
项 $epsilondelta(x-y)$ 是 $phi(x)$ 对场在 $y$ 处变分的局域响应。除以 $epsilon$ 并取极限，得到
由于狄拉克 delta 函数对其自变量是偶的，
所以同一个结果也可以写成
问题 2：$dot{phi}(t)$ 与 $phi(t_0)$ 的情形
第 1 步：引入时间导数
现在考虑 $phi(t_0)$ 的变化如何影响时间导数 $dot{phi}(t)$。从一个局域变分开始：
对时间求导，得到
于是，
第 2 步：揭示结果
除以 $epsilon$ 并取极限后，留下的就是 delta 函数的导数：
这正是我们应当预期的结果：先对场求导再取泛函导数，等价于之后再对 delta 函数形式的响应求导。
结语：量子之舞
这道习题让我们与狄拉克 delta 函数共舞。它是物理学家保罗·狄拉克的杰出发明，用来在数学上表示一点处的局域化。我们的旅程把我们带到了这些结果面前，也进一步加深了我们对空间和时间中不同点处场变分之间关系的理解。
我们今天证明的方程并不只是数学上的奇巧；它们构成了量子场论中许多高级概念的基本砖石。随着我们继续剥开这一迷人主题的层层外壳，我们会再次意识到，宇宙的语言是以数学的方言写成的，而我们解出的每一个方程，都是朝着理解粒子与场的宇宙之舞更进一步。
继续前进，走向下一个量子谜题！