探索量子场论（QFT）的深处，就像进入一个谜一般的领域：传统物理规则在那里逐渐模糊，化为抽象结构。在这段旅程中，有许多不可或缺的数学工具；其中，泛函导数就像一只罗盘，引导我们穿越泛函及其变分所构成的神秘地形。今天，让我们深入研究《Quantum Field Theory for the Gifted Amateur》中的一道有趣习题，看看它揭示了泛函与导数之间怎样的相互作用。
题目陈述
考虑如下定义的泛函 \(J[f]\)：
\[J[f] = int gleft(y, f, f^{prime}, f^{prime prime}right),mathrm{d}y.\]
我们需要证明：
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}=
frac{partial g}{partial f}
-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f^{prime}}
+frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}frac{partial g}{partial f^{prime prime}}.\]
这里，\(f^{prime prime}\) 是 \(f\) 关于 \(y\) 的二阶导数；在完成 delta 函数积分之后，\(g\) 的各个偏导数都在 \(y=x\) 处取值。
求解过程
第 1 步：变分记号
令函数发生一个尖锐局域化的微小变化，
\[f(y) mapsto f(y)+epsilondelta(y-x).\]
那么它的一阶和二阶导数分别变化为
\[f^{prime}(y) mapsto f^{prime}(y)+epsilonfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}delta(y-x),\]
以及
\[f^{primeprime}(y) mapsto f^{primeprime}(y)+epsilonfrac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}y^2}delta(y-x).\]
泛函导数定义为这个无穷小局域变分的系数：
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
=left.frac{mathrm{d}}{mathrm{d}epsilon}Jleft[f+epsilondelta(cdot-x)right]right|_{epsilon=0}.\]
第 2 步：展开泛函
将 \(g\) 按 \(epsilon\) 展开到一阶，我们得到
\[begin{aligned}
Jleft[f+epsilondelta(cdot-x)right]-J[f]
=& epsilonint bigg[
frac{partial g}{partial f}delta(y-x)
+frac{partial g}{partial f^{prime}}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}delta(y-x) \
&qquadqquad
+frac{partial g}{partial f^{primeprime}}frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}y^2}delta(y-x)
bigg],mathrm{d}y+O(epsilon^2).
end{aligned}\]
因此，
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
=int bigg[
frac{partial g}{partial f}delta(y-x)
+frac{partial g}{partial f^{prime}}delta^{prime}(y-x)
+frac{partial g}{partial f^{primeprime}}delta^{primeprime}(y-x)
bigg] mathrm{d}y.\]
第 3 步：最终推导
现在使用分布恒等式
\[int A(y)delta(y-x),mathrm{d}y=A(x),\]
\[int A(y)delta^{prime}(y-x),mathrm{d}y=-A^{prime}(x),\]
以及
\[int A(y)delta^{primeprime}(y-x),mathrm{d}y=A^{primeprime}(x),\]
并假设边界项为零，或者变分在边界处固定。应用这些恒等式可得
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
=frac{partial g}{partial f}
-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f^{prime}}
+frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}frac{partial g}{partial f^{primeprime}}.\]
这就是当泛函的被积函数依赖于函数本身、一阶导数和二阶导数时，对应的欧拉-拉格朗日泛函导数。
量子尾声
我们在这里完成的事情，就像破译了一段描述宇宙的量子代码。我们推导出的方程不只是一个数学上的小奇观：它是一副透镜，使我们得以窥见 QFT 领域中泛函与导数之间的相互作用。它告诉我们，\(f(x)\) 处的一个微小变化如何在整个泛函景观中传播开来。
同样的方法可以推广到量子场论中的许多其他问题，使我们对宇宙的理解在一次又一次的泛函导数中逐渐稳固。