量子場理論（QFT）の深みに分け入ることは、物理の通常の規則が抽象へとにじんでいく、謎めいた領域を進むことに似ています。この旅で不可欠となる数多くの数学的道具の中でも、関数微分は羅針盤のようなものであり、汎関数とその変分という不思議な地形を進む道を示してくれます。今日は、Quantum Field Theory for the Gifted Amateur に収められた興味深い演習の一つを掘り下げ、汎関数と微分の相互作用について何が見えてくるのかを見てみましょう。
問題文
次のように定義された汎関数 \(J[f]\) を考えます。
\[J[f] = int gleft(y, f, f^{prime}, f^{prime prime}right),mathrm{d}y.\]
示すべきことは次の式です。
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}=
frac{partial g}{partial f}
-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f^{prime}}
+frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}frac{partial g}{partial f^{prime prime}}.\]
ここで、\(f^{prime prime}\) は \(y\) に関する \(f\) の 2 階微分であり、\(g\) の偏微分は、デルタ関数による積分を実行した後に \(y=x\) で評価されます。
解答への道筋
ステップ 1: 変分記法
関数を鋭く局在した量だけ変化させます。
\[f(y) mapsto f(y)+epsilondelta(y-x).\]
すると、その 1 階微分と 2 階微分は次のように変化します。
\[f^{prime}(y) mapsto f^{prime}(y)+epsilonfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}delta(y-x),\]
および
\[f^{primeprime}(y) mapsto f^{primeprime}(y)+epsilonfrac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}y^2}delta(y-x).\]
関数微分は、この無限小の局在変分の係数として定義されます。
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
=left.frac{mathrm{d}}{mathrm{d}epsilon}Jleft[f+epsilondelta(cdot-x)right]right|_{epsilon=0}.\]
ステップ 2: 汎関数の展開
\(g\) を \(epsilon\) の 1 次まで展開すると、次を得ます。
\[begin{aligned}
Jleft[f+epsilondelta(cdot-x)right]-J[f]
=& epsilonint bigg[
frac{partial g}{partial f}delta(y-x)
+frac{partial g}{partial f^{prime}}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}delta(y-x)
&qquadqquad
+frac{partial g}{partial f^{primeprime}}frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}y^2}delta(y-x)
bigg]、mathrm{d}y+O(epsilon^2).
end{aligned}\]
したがって、
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
=int bigg[
frac{partial g}{partial f}delta(y-x)
+frac{partial g}{partial f^{prime}}delta^{prime}(y-x)
+frac{partial g}{partial f^{primeprime}}delta^{primeprime}(y-x)
bigg] mathrm{d}y.\]
ステップ 3: 最終的な導出
ここで、次の分布の恒等式を用います。
\[int A(y)delta(y-x),mathrm{d}y=A(x),\]
\[int A(y)delta^{prime}(y-x),mathrm{d}y=-A^{prime}(x),\]
および
\[int A(y)delta^{primeprime}(y-x),mathrm{d}y=A^{primeprime}(x),\]
ただし、境界項は消えるか、または変分が境界で固定されているものとします。これらの恒等式を適用すると、
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
=frac{partial g}{partial f}
-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f^{prime}}
+frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}frac{partial g}{partial f^{primeprime}}.\]
これは、被積分関数が関数、その 1 階微分、そして 2 階微分に依存する汎関数に対するオイラー＝ラグランジュ型の関数微分です。
量子的なエピローグ
ここで成し遂げたことは、宇宙を記述する量子的なコードの一片を解読することにも似ています。導いた方程式は、単なる数学的な珍しさ以上のものです。それは、QFT の領域における汎関数と微分の相互作用を垣間見せてくれるレンズです。この式は、\(f(x)\) の小さな変化が汎関数全体の景観をどのように伝わっていくかを教えてくれます。
同じ方法論は量子場理論の多くの別の問題にも拡張でき、関数微分を一つずつ積み重ねることで、宇宙への理解をより確かなものにしてくれます。
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