量子场论（Quantum Field Theory, QFT）依然是一口涌现迷人复杂性与震撼之美的泉源。上一次进入这个领域时，我们讨论了泛函以及它们与导数的相互作用。今天，我们继续深入习题 1.3 的第二部分，把讨论扩展到同时包含 \(f\) 和 \(f'\) 的泛函。
习题
对于泛函
\[H[f] = int gleft(y, f(y), f'(y)right),mathrm{d}y,\]
证明
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}(x, f(x), f'(x))
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}(x, f(x), f'(x)).\]
这正是一个积分被积函数依赖于函数及其一阶导数时所熟悉的欧拉-拉格朗日表达式。
第一步：铺设舞台
从
\[H[f] = int gleft(y, f(y), f'(y)right),mathrm{d}y.\]
开始。为了计算泛函导数，用一个小的测试变分 \(epsiloneta\) 扰动 \(f\)，其中 \(eta\) 是光滑的，并且在边界处为零。于是
\[H[f+epsiloneta]
= int gleft(y, f(y)+epsiloneta(y), f'(y)+epsiloneta'(y)right),mathrm{d}y.\]
一阶变分为
\[delta H
= left.frac{mathrm{d}}{mathrm{d}epsilon}H[f+epsiloneta]right|_{epsilon=0}.\]
第二步：追踪导数
在积分号下求导得到
\[delta H
= int left(
frac{partial g}{partial f}eta
+ frac{partial g}{partial f'}eta'
right),mathrm{d}y.\]
第二项包含 \(eta'\)，因此对它分部积分：
\[int frac{partial g}{partial f'}eta',mathrm{d}y
= left[frac{partial g}{partial f'}etaright]_{text{boundary}}
- int frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}left(frac{partial g}{partial f'}right)eta,mathrm{d}y.\]
由于变分被取为在边界处为零，边界项为零。因此
\[delta H
= int left(
frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}frac{partial g}{partial f'}
right)eta(y),mathrm{d}y.\]
根据泛函导数的定义，
\[delta H = int frac{delta H[f]}{delta f(y)}eta(y),mathrm{d}y,\]
于是我们识别出
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}(x, f(x), f'(x))
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}(x, f(x), f'(x)).\]
终曲：欧拉-拉格朗日表达式
这个结果不只是习题的答案。它也是欧拉-拉格朗日方程的泛函导数形式，是经典力学、场论和量子场论中的核心工具。如果 \(H[f]\) 在任意变分 \(eta\) 下是驻定的，那么 \(delta H = 0\)，这意味着
\[frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'} = 0.\]
理解 Delta 函数推导
同样的结果也可以通过使用 delta 函数变分来推出。形式上，可以将函数扰动为
\[f(y) mapsto f(y) + epsilondelta(y-x),\]
因此
\[f'(y) mapsto f'(y) + epsilonfrac{partial}{partial y}delta(y-x).\]
于是 \(H\) 的一阶变化为
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= int left[
frac{partial g}{partial f}delta(y-x)
+ frac{partial g}{partial f'}frac{partial}{partial y}delta(y-x)
right] mathrm{d}y.\]
第一项由 delta 函数直接选出：
\[int frac{partial g}{partial f}delta(y-x),mathrm{d}y
= frac{partial g}{partial f}(x, f(x), f'(x)).\]
对于第二项，使用分布恒等式
\[int phi(y)frac{partial}{partial y}delta(y-x),mathrm{d}y
= -phi'(x),\]
并假设边界项消失。令 \(phi(y)=partial g/partial f'\)，这给出
\[int frac{partial g}{partial f'}frac{partial}{partial y}delta(y-x),mathrm{d}y
= -frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}(x, f(x), f'(x)).\]
把两项合在一起，就恢复了
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}.\]
关于 \(delta'(x-a)\) 的说明
狄拉克 delta 函数的导数必须理解为分布，而不是普通函数。它的定义性作用是
\[int_{-infty}^{infty} f(x)delta'(x-a),mathrm{d}x
= -f'(a),\]
前提是边界项消失。这就是欧拉-拉格朗日表达式中符号为负的原因。把 \(f(x)delta'(x)\) 逐点地简单视为等于 \(f'(x)\) 是不正确的；有意义的表述是在积分下成立的分布恒等式。
反思
这道习题展示了泛函与导数如何以惊人的精确性相互配合。形式化的 delta 函数方法很紧凑，而测试函数变分则让假设更加清晰可见：光滑变分、分部积分，以及消失的边界项。
随着我们更深入地推进量子场论，这些细小的技术细节会变得至关重要。它们是更宏大物理陈述背后的语法；把它们处理正确，正是这门学科力量的重要来源。
