量子場理論（QFT）は、魅惑的な複雑さと畏敬を誘う美しさの尽きない泉であり続けています。前回この領域に踏み込んだときは、汎関数と、それが微分とどう相互作用するかを扱いました。今日は演習 1.3 の後半へさらに進み、\(f\) と \(f'\) の両方を含む汎関数へ議論を広げます。
演習
汎関数
\[H[f] = int gleft(y, f(y), f'(y)right),mathrm{d}y,\]
について、次を示します。
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}(x, f(x), f'(x))
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}(x, f(x), f'(x)).\]
これは、被積分関数が関数とその一階微分に依存する汎関数に対する、おなじみのオイラー＝ラグランジュ式です。
ステップ 1：舞台を整える
まず
\[H[f] = int gleft(y, f(y), f'(y)right),mathrm{d}y\]
から始めます。
汎関数微分を計算するため、\(f\) に小さな試験変分 \(epsiloneta\) を加えます。ここで \(eta\) は滑らかで、境界で消えるものとします。すると
\[H[f+epsiloneta]
= int gleft(y, f(y)+epsiloneta(y), f'(y)+epsiloneta'(y)right),mathrm{d}y.\]
第一変分は
\[delta H
= left.frac{mathrm{d}}{mathrm{d}epsilon}H[f+epsiloneta]right|_{epsilon=0}.\]
ステップ 2：微分をたどる
積分の中で微分すると、
\[delta H
= int left(
frac{partial g}{partial f}eta
+ frac{partial g}{partial f'}eta'
right),mathrm{d}y.\]
第二項には \(eta'\) が含まれるので、部分積分します。
\[int frac{partial g}{partial f'}eta',mathrm{d}y
= left[frac{partial g}{partial f'}etaright]_{text{boundary}}
- int frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}left(frac{partial g}{partial f'}right)eta,mathrm{d}y.\]
変分は境界で消えると仮定しているため、境界項はゼロです。したがって
\[delta H
= int left(
frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}frac{partial g}{partial f'}
right)eta(y),mathrm{d}y.\]
汎関数微分の定義より、
\[delta H = int frac{delta H[f]}{delta f(y)}eta(y),mathrm{d}y,\]
なので、次のように同定できます。
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}(x, f(x), f'(x))
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}(x, f(x), f'(x)).\]
フィナーレ：オイラー＝ラグランジュ式
この結果は、単に演習の答えであるだけではありません。これは、古典力学、場の理論、そして量子場理論における中心的な道具であるオイラー＝ラグランジュ方程式を、汎関数微分の形で表したものです。任意の変分 \(eta\) に対して \(H[f]\) が停留するなら、\(delta H = 0\) であり、そこから
\[frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'} = 0\]
が従います。
デルタ関数による導出を理解する
同じ結果は、デルタ関数による変分を使っても導けます。形式的には、関数を
\[f(y) mapsto f(y) + epsilondelta(y-x)\]
のように摂動させることができます。すると
\[f'(y) mapsto f'(y) + epsilonfrac{partial}{partial y}delta(y-x)\]
となります。
このとき \(H\) の一次の変化は
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= int left[
frac{partial g}{partial f}delta(y-x)
+ frac{partial g}{partial f'}frac{partial}{partial y}delta(y-x)
right] mathrm{d}y.\]
第一項はデルタ関数によって直接選び出されます。
\[int frac{partial g}{partial f}delta(y-x),mathrm{d}y
= frac{partial g}{partial f}(x, f(x), f'(x)).\]
第二項については、境界項が消えると仮定して、分布の恒等式
\[int phi(y)frac{partial}{partial y}delta(y-x),mathrm{d}y
= -phi'(x)\]
を使います。\(phi(y)=partial g/partial f'\) と置くと、
\[int frac{partial g}{partial f'}frac{partial}{partial y}delta(y-x),mathrm{d}y
= -frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}(x, f(x), f'(x)).\]
両方の項を合わせると、
\[frac{delta H[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}frac{partial g}{partial f'}\]
が再び得られます。
\(delta'(x-a)\) についての注意
ディラックのデルタ関数の微分は、通常の関数としてではなく、分布として理解しなければなりません。その定義的な作用は
\[int_{-infty}^{infty} f(x)delta'(x-a),mathrm{d}x
= -f'(a),\]
ただし境界項は消えるものとします。オイラー＝ラグランジュ式に現れる符号が負になるのはこのためです。\(f(x)delta'(x)\) を単に各点で \(f'(x)\) に等しいものとして扱うのは正しくありません。意味を持つのは、積分の下での分布としての恒等式です。
振り返り
この演習は、汎関数と微分が驚くほど精密に結びついていることを示しています。形式的なデルタ関数の方法は簡潔ですが、試験関数による変分は、滑らかな変分、部分積分、境界項の消失といった仮定をよりはっきり見える形にしてくれます。
量子場理論の奥へ進むほど、こうした小さな技術的細部が本質的になっていきます。それらは、より大きな物理的主張を支える文法であり、正しく扱うことで、この分野の力の多くが生まれるのです。
