引言
很久很久以前，在量子场论这个奇幻国度里，三位泛函巨人游走于大地之上：$H[f]$、$I[f]$ 和 $J[f]$。这些泛函是颇为奇特的存在：它们并不是简单地在某一点对一个数值求值，而是吞下整个函数，再吐出一个单一的值。今天，亲爱的读者，我们将踏上一段旅程，剖析这些巨人的内部机制，并理解它们如何响应无穷小的变化。用数学语言来说，我们要寻找它们的泛函导数。
指导思想如下：如果一个泛函 $F[f]$ 在小扰动 $f(y) mapsto f(y) + epsilon eta(y)$ 下的变化为
\[F[f + epsilon eta] - F[f] = epsilon int frac{delta F}{delta f(z)}eta(z),dz + O(epsilon^2),\]
那么系数 $delta F/delta f(z)$ 就是泛函导数。
$H[f]$ 的情形
泛函 $H[f]$ 定义为
\[H[f](x) = int G(x,y)f(y),dy.\]
我们想要求出
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)}.\]
使用一个 delta 函数探针，将 $f(y)$ 扰动为 $epsilondelta(z-y)$：
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)} = lim_{epsilonto 0}frac{H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)-H[f](x)}{epsilon}.\]
现在计算扰动后的泛函：
\[H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)
= int G(x,y)left[f(y)+epsilondelta(z-y)right]dy.\]
展开得到
\[H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)
= int G(x,y)f(y),dy + epsilonint G(x,y)delta(z-y),dy.\]
利用 delta 函数的定义性质，
\[int G(x,y)delta(z-y),dy = G(x,z),\]
所以
\[H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)=H[f](x)+epsilon G(x,z).\]
因此，
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)}
= lim_{epsilonto 0}frac{H[f](x)+epsilon G(x,z)-H[f](x)}{epsilon}
= G(x,z).\]
$I[f]$ 之谜
令
\[I[f] = int_{-1}^{1} f(x)^3,dx.\]
$I[f]$ 的一阶泛函导数
将 $f(x)$ 扰动为 $epsilondelta(x-x_0)$：
\[I[f+epsilondelta(cdot-x_0)]
= int_{-1}^{1}left[f(x)+epsilondelta(x-x_0)right]^3dx.\]
取到 $epsilon$ 的一阶，
\[left[f(x)+epsilondelta(x-x_0)right]^3
= f(x)^3 + 3epsilon f(x)^2delta(x-x_0) + O(epsilon^2).\]
高阶项包含分布的乘积，在这个形式计算中不贡献一阶变分。只保留线性项，
\[I[f+epsilondelta(cdot-x_0)]
= I[f] + 3epsilonint_{-1}^{1} f(x)^2delta(x-x_0),dx + O(epsilon^2).\]
如果 $x_0in[-1,1]$，这就变为
\[I[f+epsilondelta(cdot-x_0)] = I[f] + 3epsilon f(x_0)^2 + O(epsilon^2).\]
于是，
\[frac{delta I[f]}{delta f(x_0)}
= lim_{epsilonto 0}frac{I[f+epsilondelta(cdot-x_0)]-I[f]}{epsilon}
= 3f(x_0)^2.\]
$I[f]$ 的二阶泛函导数
对于二阶泛函导数，
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)},\]
我们对一阶泛函导数再关于 $f(x_1)$ 求导：
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)}
= frac{delta}{delta f(x_1)}left(3f(x_0)^2right).\]
由于
\[frac{delta f(x_0)}{delta f(x_1)} = delta(x_0-x_1),\]
我们得到
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)}
= 6f(x_0)delta(x_0-x_1).\]
$J[f]$ 的谜团
泛函 $J[f]$ 给定为
\[J[f] = int left(frac{partial f}{partial y}right)^2dy.\]
我们想要求出
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}.\]
使用形式定义，将 $f(y)$ 扰动为 $epsilondelta(x-y)$：
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
= lim_{epsilonto 0}frac{J[f(y)+epsilondelta(x-y)]-J[f(y)]}{epsilon}.\]
先计算扰动后的泛函：
\[J[f(y)+epsilondelta(x-y)]
= int left(frac{partial}{partial y}left[f(y)+epsilondelta(x-y)right]right)^2dy.\]
展开到 $epsilon$ 的一阶，得到
\[J[f(y)+epsilondelta(x-y)]
= int left(frac{partial f}{partial y}right)^2dy
+ 2epsilonint frac{partial f}{partial y}frac{partial}{partial y}delta(x-y),dy
+ O(epsilon^2).\]
$O(epsilon^2)$ 项在泛函导数极限中消失。对于中间项，假设边界项为零，进行分部积分：
\[2epsilonint frac{partial f}{partial y}frac{partial}{partial y}delta(x-y),dy
= -2epsilonint frac{partial^2 f}{partial y^2}delta(x-y),dy.\]
因此，
\[2epsilonint frac{partial f}{partial y}frac{partial}{partial y}delta(x-y),dy
= -2epsilonleft.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x}.\]
所以一阶变分为
\[delta J[f] = -2epsilonleft.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x},\]
从而
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
= lim_{epsilonto 0}frac{-2epsilonleft.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x}}{epsilon}
= -2left.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x}.\]
等价地，
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)} = -2f''(x),\]
前提是分部积分产生的边界项为零。这表明 $J[f]$ 对函数 $f$ 在点 $x$ 处的曲率十分敏感。
结论
因此，我们已经从形式定义出发，计算了 $H[f]$、$I[f]$ 和 $J[f]$ 的泛函导数：
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)} = G(x,z),\]
\[frac{delta I[f]}{delta f(x_0)} = 3f(x_0)^2,\]
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)} = 6f(x_0)delta(x_0-x_1),\]
以及
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)} = -2f''(x).\]
谜团已经解开，巨人的秘密也在严谨数学表述的力量下展露无遗。
祝你探索愉快！
