はじめに
量子場理論という幻想的な領域には、かつて三体の汎関数の巨人、$H[f]$、$I[f]$、そして $J[f]$ が大地を歩き回っていました。これらの汎関数は風変わりな存在です。ある点で数値を評価するだけではなく、関数全体を飲み込み、ひとつの値を返します。今日、親愛なる読者の皆さんとともに、私たちはこの巨人たちの内側の仕組みを解剖し、無限小の変化に対して彼らがどのように応答するのかを理解する旅に出ます。数学の言葉でいえば、私たちが求めるのはそれらの汎関数微分です。
導きとなる考え方は次の通りです。小さな摂動 $f(y) mapsto f(y) + epsilon eta(y)$ のもとで汎関数 $F[f]$ が
\[F[f + epsilon eta] - F[f] = epsilon int frac{delta F}{delta f(z)}eta(z),dz + O(epsilon^2),\]
のように変化するなら、係数 $delta F/delta f(z)$ が汎関数微分です。
$H[f]$ の場合
汎関数 $H[f]$ は次のように定義されます。
\[H[f](x) = int G(x,y)f(y),dy.\]
求めたいのは
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)}.\]
デルタ関数の探針を用いて、$f(y)$ を $epsilondelta(z-y)$ だけ摂動させます。
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)} = lim_{epsilonto 0}frac{H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)-H[f](x)}{epsilon}.\]
ここで、摂動された汎関数を計算します。
\[H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)
= int G(x,y)left[f(y)+epsilondelta(z-y)right]dy.\]
展開すると、
\[H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)
= int G(x,y)f(y),dy + epsilonint G(x,y)delta(z-y),dy.\]
デルタ関数の定義的性質を用いれば、
\[int G(x,y)delta(z-y),dy = G(x,z),\]
したがって、
\[H[f(y)+epsilondelta(z-y)](x)=H[f](x)+epsilon G(x,z).\]
よって、
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)}
= lim_{epsilonto 0}frac{H[f](x)+epsilon G(x,z)-H[f](x)}{epsilon}
= G(x,z).\]
$I[f]$ の謎
次のようにします。
\[I[f] = int_{-1}^{1} f(x)^3,dx.\]
$I[f]$ の第一汎関数微分
$f(x)$ を $epsilondelta(x-x_0)$ だけ摂動させます。
\[I[f+epsilondelta(cdot-x_0)]
= int_{-1}^{1}left[f(x)+epsilondelta(x-x_0)right]^3dx.\]
$epsilon$ の一次まででは、
\[left[f(x)+epsilondelta(x-x_0)right]^3
= f(x)^3 + 3epsilon f(x)^2delta(x-x_0) + O(epsilon^2).\]
高次の項には分布の積が含まれ、この形式的計算における第一変分には寄与しません。線形項だけを残すと、
\[I[f+epsilondelta(cdot-x_0)]
= I[f] + 3epsilonint_{-1}^{1} f(x)^2delta(x-x_0),dx + O(epsilon^2).\]
もし $x_0in[-1,1]$ なら、これは
\[I[f+epsilondelta(cdot-x_0)] = I[f] + 3epsilon f(x_0)^2 + O(epsilon^2).\]
となります。したがって、
\[frac{delta I[f]}{delta f(x_0)}
= lim_{epsilonto 0}frac{I[f+epsilondelta(cdot-x_0)]-I[f]}{epsilon}
= 3f(x_0)^2.\]
$I[f]$ の第二汎関数微分
第二汎関数微分
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)},\]
については、第一汎関数微分を $f(x_1)$ に関して微分します。
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)}
= frac{delta}{delta f(x_1)}left(3f(x_0)^2right).\]
ここで、
\[frac{delta f(x_0)}{delta f(x_1)} = delta(x_0-x_1),\]
なので、
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)}
= 6f(x_0)delta(x_0-x_1).\]
$J[f]$ の不可思議
汎関数 $J[f]$ は次で与えられます。
\[J[f] = int left(frac{partial f}{partial y}right)^2dy.\]
求めたいのは
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}.\]
形式的定義を用いて、$f(y)$ を $epsilondelta(x-y)$ だけ摂動させます。
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
= lim_{epsilonto 0}frac{J[f(y)+epsilondelta(x-y)]-J[f(y)]}{epsilon}.\]
まず、摂動された汎関数を計算します。
\[J[f(y)+epsilondelta(x-y)]
= int left(frac{partial}{partial y}left[f(y)+epsilondelta(x-y)right]right)^2dy.\]
$epsilon$ の一次まで展開すると、
\[J[f(y)+epsilondelta(x-y)]
= int left(frac{partial f}{partial y}right)^2dy
+ 2epsilonint frac{partial f}{partial y}frac{partial}{partial y}delta(x-y),dy
+ O(epsilon^2).\]
$O(epsilon^2)$ の項は汎関数微分の極限で消えます。中央の項については、境界項が消えると仮定して部分積分します。
\[2epsilonint frac{partial f}{partial y}frac{partial}{partial y}delta(x-y),dy
= -2epsilonint frac{partial^2 f}{partial y^2}delta(x-y),dy.\]
したがって、
\[2epsilonint frac{partial f}{partial y}frac{partial}{partial y}delta(x-y),dy
= -2epsilonleft.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x}.\]
ゆえに第一変分は
\[delta J[f] = -2epsilonleft.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x},\]
となり、したがって
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)}
= lim_{epsilonto 0}frac{-2epsilonleft.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x}}{epsilon}
= -2left.frac{partial^2 f}{partial y^2}right|_{y=x}.\]
同値に、
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)} = -2f''(x),\]
ただし、部分積分による境界項が消えるものとします。これは、$J[f]$ が点 $x$ における $f$ の曲率に敏感であることを明らかにしています。
結論
以上により、形式的定義から $H[f]$、$I[f]$、$J[f]$ の汎関数微分を計算しました。
\[frac{delta H[f](x)}{delta f(z)} = G(x,z),\]
\[frac{delta I[f]}{delta f(x_0)} = 3f(x_0)^2,\]
\[frac{delta^2 I[f]}{delta f(x_0)delta f(x_1)} = 6f(x_0)delta(x_0-x_1),\]
そして
\[frac{delta J[f]}{delta f(x)} = -2f''(x).\]
不可思議は解かれ、厳密な数学的定式化の力によって、巨人たちの秘密は白日のもとにさらされました。
よい探求を！
