用弦的动能和势能来推导波动方程时，会用到拉格朗日力学，也就是经典力学的一种重新表述。这里我们关注势能项 \(V\)，尤其是为什么它包含空间导数的平方，\(left(partial psi / partial xright)^2\)。
简单来说，势能 \(V\) 与弦的拉伸有关。理解这一点最容易的方法，是观察弦在发生位移后的一小段。
直观理解
想象取弦上位于 \(x\) 和 \(x + mathrm{d}x\) 之间的一小段。如果这段弦被竖直位移了一个小量 \(psi(x,t)\)，造成拉伸的并不是它的绝对高度。一段整体被均匀抬高的弦，长度几乎保持不变。只有当相邻点的位移量不同时，拉伸才会出现。
导数
\[frac{partial psi}{partial x}\]
衡量的是位移 \(psi(x,t)\) 沿弦变化得有多快。换句话说，它衡量的是弦的局部斜率。斜率越大，弦的一小段就比平衡状态下更长，因此弦的张力中储存的能量也越多。
将导数平方，
\[left(frac{partial psi}{partial x}right)^2,\]
使能量依赖于斜率的大小，而不是斜率的符号。如果斜率的幅值相同，那么向上倾斜的一段和向下倾斜的一段储存的势能相同。
数学解释
势能项为
\[V = frac{1}{2} int_{0}^{ell} mathrm{d}x, mathcal{T}left(frac{partial psi}{partial x}right)^2.\]
这是沿弦上所有点 \(x\) 的积分，范围从 \(0\) 到 \(ell\)。这里，\(mathcal{T}\) 是弦中的张力。张力起到恢复作用：当弦被拉离其平衡形状时，能量就储存在这种形变之中。
量
\[frac{1}{2}mathcal{T}left(frac{partial psi}{partial x}right)^2\]
是在小斜率近似下的单位长度势能密度。随后，积分把整根弦上的这些局部贡献相加，得到总势能。
因此，\(left(partial psi / partial xright)^2\) 的出现反映了一个简单的物理事实：弦在其形状逐点发生变化时储存势能，而不只是因为它发生了竖直位移。这个项编码了弦因张力 \(mathcal{T}\) 而对形状变化产生的抵抗，并且在推导波动方程时是必不可少的。