欢迎回到我们探索傅里叶变换世界之旅的第二部分。如果你刚刚加入，可以先补读第一部分，在那里我们研究了一个复信号的傅里叶变换。今天，我们进入信号滤波问题，重点讨论一种由实且偶的频率响应 $H(s)$ 所刻画的滤波器。
谜题：滤波器与频率
今天的问题是：给定一个具有实且偶传递函数 $H(s)$ 的滤波器，当输入为
时会发生什么？
关键在于把 $H(s)$ 的对称性与余弦函数的傅里叶变换结合起来。
在本文中，我们采用如下傅里叶变换约定：
在这个约定下，频域中乘以频率响应，对应于时域中的滤波。
余弦的傅里叶变换：一个简短的绕行
在解决滤波问题之前，我们先回顾一下 $cos(2pi a t)$ 的傅里叶变换。利用欧拉公式，
因此它的傅里叶变换为
等价地，也可以写成
因为狄拉克 delta 函数对其自变量是偶的。
对信号进行滤波
设输入频谱为 $F(s)$。对于一个线性时不变滤波器，其频率响应为 $H(s)$，输出频谱通过将输入频谱乘以滤波器响应得到：
对于余弦输入，代入式 (1)：
利用狄拉克 delta 函数的抽样性质，
并且
因此，
因为 $H(s)$ 是偶函数，所以 $H(a)=H(-a)$。于是滤波后的输出频谱变为
最后的揭示
为了恢复时域信号，对 $Y(s)$ 作逆傅里叶变换：
所以，当输入为 $cos(2pi a t)$ 时，滤波器的输出是
换句话说，频率为 $a$ 的余弦信号仍然保持为同一频率的余弦信号。滤波器只是按照该频率处频率响应的取值来缩放它的幅度。
结语：滤波器与傅里叶的统一
这个结果简单却有力：正弦信号是线性时不变系统的特征函数。当一个余弦信号通过这样的滤波器时，频率不会改变；被滤波器响应改变的只是幅度，而在更一般的复数情形中还包括相位。
对于一个实且偶的响应 $H(s)$，正频率分量和负频率分量会被等比例缩放，这也正是输出仍保持为实余弦 $H(a)cos(2pi a t)$ 的原因。
这一思想是信号处理、通信以及许多实际滤波问题的基础之一：在频域中理解信号，在频域中理解滤波器响应，输出便可直接得到。