Unveiling the Mysteries of Fourier Transform: A Practical Series

フーリエ変換の世界をめぐる旅のパート2へようこそ。今回から参加された方は、複素信号のフーリエ変換を扱ったパート1を先に読んでおくとよいでしょう。今日は信号のフィルタリングへ進み、実数かつ偶関数の周波数応答 $H(s)$ で特徴づけられるフィルタに焦点を当てます。

パズル：フィルタと周波数

今日の問いは次のとおりです。実数かつ偶関数の伝達関数 $H(s)$ をもつフィルタがあるとき、このフィルタへの入力が

\[cos(2pi a t)?\]

であるなら、何が起こるのでしょうか。

鍵になるのは、$H(s)$ の対称性と、余弦関数のフーリエ変換を組み合わせることです。

この記事全体では、次のフーリエ変換の規約を用います。

\[mathcal{F}{x(t)}(s) = int_{-infty}^{infty} x(t)e^{-2pi i s t},dt.\]

この規約では、周波数領域で周波数応答を掛けることが、時間領域でのフィルタリングに対応します。

フィルタリングの問いを解く前に、$cos(2pi a t)$ のフーリエ変換を振り返ってみましょう。オイラーの公式を使うと、

\[cos(2pi a t) = frac{1}{2}left(e^{2pi i a t} + e^{-2pi i a t}right),\]

したがって、そのフーリエ変換は

\[mathcal{F}{cos(2pi a t)}(s) = frac{1}{2}left(delta(s-a) + delta(s+a)right). tag{1}\]

同じことを次のようにも書けます。

\[frac{1}{2}left(delta(a-s) + delta(a+s)right),\]

ディラックのデルタ関数は、その引数について偶関数だからです。

入力スペクトルを $F(s)$ とします。周波数応答 $H(s)$ をもつ線形時不変フィルタでは、出力スペクトルは入力スペクトルにフィルタ応答を掛けることで得られます。

\[Y(s) = H(s)F(s). tag{2}\]

余弦入力について、式 (1) を代入します。

\[Y(s) = H(s)cdot frac{1}{2}left(delta(s-a) + delta(s+a)right).\]

ディラックのデルタ関数のサンプリング性質を使うと、

\[H(s)delta(s-a) = H(a)delta(s-a),\]

また

\[H(s)delta(s+a) = H(-a)delta(s+a).\]

したがって、

\[Y(s) = frac{1}{2}left(H(a)delta(s-a) + H(-a)delta(s+a)right).\]

$H(s)$ は偶関数なので、$H(a)=H(-a)$ です。そのため、フィルタリング後の出力スペクトルは

\[Y(s) = frac{H(a)}{2}left(delta(s-a) + delta(s+a)right). tag{3}\]

となります。

時間領域の信号を復元するには、$Y(s)$ の逆フーリエ変換を取ります。

\[mathcal{F}^{-1}{Y(s)} = H(a)cos(2pi a t). tag{4}\]

したがって、入力が $cos(2pi a t)$ のとき、フィルタの出力は

\[H(a)cos(2pi a t).\]

です。言い換えると、周波数 $a$ の余弦波は、同じ周波数の余弦波のまま残ります。フィルタは、その周波数における周波数応答の値によって振幅を単にスケールするだけです。

この結果は単純ですが強力です。正弦波は線形時不変システムの固有関数です。このようなフィルタを余弦波が通過すると、周波数は変わらず、振幅だけが、より一般的な複素の場合には位相も、フィルタ応答によって変化します。

実数かつ偶関数の応答 $H(s)$ では、正の周波数成分と負の周波数成分が等しくスケールされます。そのため、出力は実数の余弦波 $H(a)cos(2pi a t)$ のままになります。

この考え方は、信号処理、通信、そして多くの実践的なフィルタリング問題の基礎の一つです。周波数領域で信号を理解し、周波数領域でフィルタ応答を理解すれば、出力は直接導かれます。