抽象代数：第 1 周

抽象代数第一周的内容，主要是在学习如何用结构取代计算。我们不再只问如何对数字、矩阵、函数或对称性进行计算，而是追问这些对象满足什么规则，以及仅凭这些规则能够推出什么结论。

一个有用的起点是二元运算的概念。如果 S 是一个集合，那么 S 上的二元运算就是一条规则：它取 S 中的两个元素，并返回 S 中的另一个元素。整数加法是一个二元运算，因为对任意整数 a 和 b，结果 a + b 仍然是整数。除法不是整数上的二元运算，因为 1 / 2 不是整数。

群

群是一个集合 G 连同一个二元运算，通常用乘法形式书写，并满足四个条件：

1. 封闭性： 如果 a, b in G，那么 ab in G。
2. 结合律： 如果 a, b, c in G，那么 (ab)c = a(bc)。
3. 单位元： 存在一个元素 e in G，使得对每个 a in G 都有 ea = ae = a。
4. 逆元： 对每个 a in G，存在一个元素 a^{-1} in G，使得 aa^{-1} = a^{-1}a = e。

如果该运算还对所有 a, b in G 满足 ab = ba，那么这个群称为阿贝尔群。

标准例子包括：

• (mathbb{Z}, +)，加法下的整数。
• (mathbb{R} setminus {0}, times)，乘法下的非零实数。
• GL_n(mathbb{R})，矩阵乘法下的可逆 n times n 实矩阵。
• 多边形的对称变换，在复合运算下构成的群。

矩阵这个例子很重要，因为它提醒我们：群运算不必是可交换的。一般来说，如果 A 和 B 是矩阵，AB 和 BA 可能不同。

基本检查

在检查一个给定结构是否为群时，按顺序检验公理会很有帮助：

1. 确定集合。
2. 确定运算。
3. 仔细检查封闭性。
4. 检查结合律，通常可以借助一个已知满足结合律的运算。
5. 找出单位元。
6. 找出一般元素的逆元。
7. 只有在这些之后，才判断该群是否为阿贝尔群。

例如，正实数在乘法下构成一个阿贝尔群。封闭性成立，因为两个正实数的乘积仍为正数。单位元是 1，而 a > 0 的逆元是 1/a，它也仍然是正数。

相比之下，正整数在加法下不构成群。封闭性和结合律成立，但如果排除 0，正整数中没有加法单位元，同时加法逆元也不存在。

子群

子群是群的一个子集，并且它在同一个运算下本身也构成群。如果 H 是 G 的子集，那么当满足以下条件时，H 是一个子群：

• H 非空，
• 对所有 a, b in H，乘积 ab^{-1} 也在 H 中。

这个一步子群判别法通常比重新检查所有群公理更快。

例子：

• 2mathbb{Z} 是 (mathbb{Z}, +) 的子群。
• 对每个整数 n，nmathbb{Z} 都是 (mathbb{Z}, +) 的子群。
• 正方形的所有旋转构成正方形完整对称群的一个子群。

同态

同态是群之间保持结构的映射。如果 (G, *) 和 (H, cdot) 是群，函数 varphi: G to H 是同态，当且仅当

对所有 a, b in G 成立。

关键在于这个映射尊重运算。同态让我们能够通过比较群的结构，而不只是比较它们的元素，来比较不同的群。

重要的相关定义：

• varphi 的核是 G 中所有被映到 H 的单位元的元素组成的集合。
• varphi 的像是 H 中所有能够由 varphi 达到的元素组成的集合。
• 同构是双射同态。如果两个群同构，那么即使它们的元素看起来不同，它们也具有相同的群结构。

LaTeX 说明

原始笔记还包含了一些 LaTeX 渲染检查。这里保留它们，因为它们有助于测试 Markdown 和 WordPress 的公式支持：

$latex E=mc^2$

[E=mc^2]

\(E=mc^2\)

$$E=mc^2$$

第一周练习

1. 证明群的单位元是唯一的。
2. 证明群中每个元素的逆元是唯一的。
3. 证明 (mathbb{Z}, +) 是一个群。
4. 证明 (mathbb{Z}, times) 不是一个群。
5. 判断非零有理数在乘法下是否构成群。
6. 列出所有你能用 nmathbb{Z} 形式描述的 (mathbb{Z}, +) 的子群。
7. 给出一个非阿贝尔群的例子，并解释为什么该运算不可交换。

这一周最重要的习惯，是始终把集合和运算分开。早期学习抽象代数时，大多数错误都来自检查了错误运算下的性质，或者在证明逆元属于该集合之前就假定它存在。