抽象代数学 第1週

抽象代数学：第1週

抽象代数学の最初の週は、計算を構造に置き換えて考えることを学ぶのが中心です。数、行列、関数、対称性をどのように計算するかだけを問うのではなく、それらの対象がどのような規則を満たし、その規則だけからどのような結論が導けるのかを考えます。

有用な出発点は 二項演算 という考え方です。S が集合であるとき、S 上の二項演算とは、S の2つの元を受け取り、S の別の元を返す規則のことです。整数の加法は二項演算です。なぜなら、任意の整数 a と b に対して、結果 a + b は再び整数だからです。一方、除法は整数上の二項演算ではありません。1 / 2 は整数ではないからです。

群

群 とは、集合 G と二項演算の組であり、その演算は通常は乗法的に書かれ、次の4つの条件を満たします。

  1. 閉性： a, b in G ならば、ab in G である。
  2. 結合律： a, b, c in G ならば、(ab)c = a(bc) である。
  3. 単位元： ある元 e in G が存在し、すべての a in G に対して ea = ae = a となる。
  4. 逆元： すべての a in G に対して、ある元 a^{-1} in G が存在し、aa^{-1} = a^{-1}a = e となる。

さらに演算がすべての a, b in G について ab = ba を満たすなら、その群は アーベル群 と呼ばれます。

標準的な例には次のようなものがあります。

  • (mathbb{Z}, +)、加法に関する整数全体。
  • (mathbb{R} setminus {0}, times)、乗法に関する0でない実数全体。
  • GL_n(mathbb{R})、行列の乗法に関する可逆な n times n 実行列全体。
  • 合成に関する多角形の対称性。

行列の例が重要なのは、群演算が可換である必要はないことを思い出させてくれるからです。一般に、A と B が行列であるとき、AB と BA は異なる場合があります。

基本的な確認

ある構造が群であるかどうかを確認するときは、公理を順番に検査すると役に立ちます。

  1. 集合を特定する。
  2. 演算を特定する。
  3. 閉性を注意深く確認する。
  4. 通常は既知の結合的な演算を使って、結合律を確認する。
  5. 単位元を見つける。
  6. 一般の元の逆元を見つける。
  7. その後ではじめて、その群がアーベル群かどうかを判断する。

例えば、乗法に関する正の実数全体はアーベル群をなします。2つの正の実数の積は正なので、閉性が成り立ちます。単位元は 1 であり、a > 0 の逆元は 1/a で、これも正です。

対照的に、加法に関する正の整数全体は群をなしません。閉性と結合律は成り立ちますが、0 を除外している場合、正の整数の中には加法単位元が存在せず、加法逆元も存在しません。

部分群

部分群 とは、ある群の部分集合であって、同じ演算のもとでそれ自体が群になるものです。H が G の部分集合であるとき、H が部分群であるための条件は次の通りです。

  • H は空でない。
  • すべての a, b in H に対して、積 ab^{-1} も H に属する。

この一段階の部分群判定法は、すべての群公理をもう一度確認するよりも速いことがよくあります。

例：

  • 2mathbb{Z} は (mathbb{Z}, +) の部分群である。
  • 任意の整数 n について、nmathbb{Z} は (mathbb{Z}, +) の部分群である。
  • 正方形の回転全体の集合は、正方形の完全な対称群の部分群である。

準同型

準同型 とは、群の間の構造を保つ写像です。(G, *) と (H, cdot) が群であるとき、関数 varphi: G to H が準同型であるとは、すべての a, b in G について

\[varphi(a * b) = varphi(a) cdot varphi(b)\]

を満たすことです。

要点は、その写像が演算を尊重するということです。準同型によって、単に元を比べるのではなく、構造を比べることで群を比較できます。

重要な関連定義：

  • varphi の 核 とは、H の単位元へ送られる G の元全体の集合である。
  • varphi の 像 とは、varphi によって到達される H の元全体の集合である。
  • 同型 とは、全単射な準同型である。2つの群が同型であるなら、それらの元の見た目が異なっていても、同じ群構造を持つ。

LaTeX メモ

元のノートには、LaTeX のレンダリング確認もいくつか含まれていました。Markdown と WordPress の数式対応をテストするのに役立つため、ここにも残してあります。

$latex E=mc^2$

[E=mc^2]

\(E=mc^2\)

E=mc^2

$$E=mc^2$$

\[underset {epsilon to 0} lim frac{1}{2}\]
\[lim_{x to 0} x\]

第1週の演習

  1. 群の単位元が一意であることを証明せよ。
  2. 群の各元の逆元が一意であることを証明せよ。
  3. (mathbb{Z}, +) が群であることを示せ。
  4. (mathbb{Z}, times) が群でないことを示せ。
  5. 0でない有理数全体が、乗法のもとで群をなすかどうかを判定せよ。
  6. nmathbb{Z} の形で表せる (mathbb{Z}, +) の部分群をすべて列挙せよ。
  7. 非アーベル群の例を1つ挙げ、その演算がなぜ可換でないのかを説明せよ。

今週の主要な習慣は、集合と演算を常に分けて考えることです。初期の抽象代数学で起こる間違いの多くは、誤った演算について性質を確認したり、逆元が集合に属することを証明する前にその存在を仮定したりすることから生じます。

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