量子場理論（QFT）の世界は、まさに魅惑そのものです。数学と物理学が織りなす宇宙的な舞踏であり、宇宙の最も深い仕組みを掘り起こしてくれます。いま私は、Quantum Field Theory for the Gifted Amateur という本に心を奪われています。これは私に新しい地平を開いてくれた、知的な冒険の旅です。
この旅の親密な一部として、演習 1.3 の探究を共有したいと思います。この演習は、汎関数とその微分の精妙さに踏み込むものです。そこは、古典的な微積分が関数解析の繊細な美しさと出会う数学的な領域です。
演習
次の汎関数を考えます。
\[G[f] = int g(y, f),mathrm{d}y.\]
次を示しなさい。
\[frac{delta G[f]}{delta f(x)} = frac{partial g(x, f)}{partial f}.\]
さらに、$y$ に関する $f$ の 1 階および 2 階導関数である $f'$ と $f''$ を含む、より複雑な汎関数へこの考えを拡張することも求められています。
ステップ 1：汎関数を設定する
最初の汎関数は、より明示的には次のように書けます。
\[G[f] = int g(y, f(y)),mathrm{d}y.\]
汎関数微分 $delta G[f]/delta f(x)$ を求めるために、点 $x$ において関数 $f$ を摂動させます。その摂動を表す便利な方法の一つがディラックのデルタ関数を使うものです。
\[f(y) rightarrow f(y) + epsilondelta(x-y),\]
ここで $epsilon$ は小さい数です。このとき汎関数微分は次で定義されます。
\[frac{delta G[f]}{delta f(x)}
= lim_{epsilon to 0}
frac{G[f(y)+epsilondelta(x-y)] - G[f(y)]}{epsilon}.\]
ステップ 2：微分を掘り下げる
定義に汎関数を代入すると、次のようになります。
\[begin{aligned}
frac{delta G[f]}{delta f(x)}
&= lim_{epsilon to 0}
frac{int g(y, f(y)+epsilondelta(x-y)),mathrm{d}y
- int g(y, f(y)),mathrm{d}y}{epsilon}.
end{aligned}\]
$g$ を $epsilon$ の 1 次まで展開すると、
\[g(y, f(y)+epsilondelta(x-y))
= g(y, f(y))
+ epsilonfrac{partial g(y, f)}{partial f}delta(x-y)
+ O(epsilon^2).\]
したがって、
\[begin{aligned}
frac{delta G[f]}{delta f(x)}
&= lim_{epsilon to 0}
frac{int left[g(y, f(y))
+ epsilonfrac{partial g(y, f)}{partial f}delta(x-y)right] mathrm{d}y
- int g(y, f(y)),mathrm{d}y}{epsilon}
&= int frac{partial g(y, f)}{partial f}delta(x-y),mathrm{d}y
&= frac{partial g(x, f)}{partial f}.
end{aligned}\]
こうして、演習で示すよう求められている結果そのものが得られます。
\[frac{delta G[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g(x, f)}{partial f}.\]
結果を $f'$ へ拡張する
いま、汎関数が関数の導関数に依存するとします。
\[G[f] = int g(y, f, f'),mathrm{d}y.\]
小さな変分 $f rightarrow f + epsiloneta$ を与えると、
\[delta G
= epsilonintleft(
frac{partial g}{partial f}eta
+ frac{partial g}{partial f'}eta'
right)mathrm{d}y.\]
$eta'$ を含む項は、まだ汎関数微分に必要な形になっていないので、部分積分します。
\[int frac{partial g}{partial f'}eta',mathrm{d}y
= left[frac{partial g}{partial f'}etaright]_{text{boundary}}
- int frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}left(frac{partial g}{partial f'}right)eta,mathrm{d}y.\]
変分が境界で消えるなら、境界項はゼロです。すると、
\[delta G
= epsilonintleft[
frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}left(frac{partial g}{partial f'}right)
right]eta,mathrm{d}y.\]
したがって、
\[frac{delta G[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left(frac{partial g}{partial f'}right),\]
ここで、すべての量は $y=x$ で評価されます。
結果を $f''$ へ拡張する
2 階導関数に依存する汎関数について、
\[G[f] = int g(y, f, f', f''),mathrm{d}y,\]
その変分は
\[delta G
= epsilonintleft(
frac{partial g}{partial f}eta
+ frac{partial g}{partial f'}eta'
+ frac{partial g}{partial f''}eta''
right)mathrm{d}y.\]
$eta'$ の項は 1 回の部分積分で処理されます。$eta''$ の項には 2 回の部分積分が必要です。
\[int frac{partial g}{partial f''}eta'',mathrm{d}y
= left[frac{partial g}{partial f''}eta'
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}left(frac{partial g}{partial f''}right)etaright]_{text{boundary}}
+ int frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}y^2}left(frac{partial g}{partial f''}right)eta,mathrm{d}y.\]
境界項が消えると仮定すれば、次を得ます。
\[frac{delta G[f]}{delta f(x)}
= frac{partial g}{partial f}
- frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left(frac{partial g}{partial f'}right)
+ frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}x^2}left(frac{partial g}{partial f''}right).\]
これは古典場の理論と量子場理論の随所に現れるオイラー＝ラグランジュのパターンです。場の各階の導関数は、部分積分の後に符号を交互に変えながら項として寄与します。
振り返り
この演習は、汎関数がその導関数とどのように相互作用するかを深く探るものであり、量子場理論の微妙な構造を語るための数学的な語彙を与えてくれます。それは入り組んだ言語の構文を学ぶことにも似ています。一つひとつの記号が、絶えず展開していく物語の中の詩的な言葉なのです。
量子場理論の宇宙をめぐる私の旅は続きます。そしてこの演習は小さいながらも本質的な一歩です。関数の局所的な変分が積分表式を点ごとの方程式へ変えることを示しており、これは場の理論における運動方程式の背後にある基本的な操作です。
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