はじめに
量子場理論（QFT）は、多くの人にとって手ごわく、不可解で、同時に魅力的な分野です。そこでは粒子は場の励起として扱われ、量子力学と特殊相対性理論の規則が協調して働かなければなりません。こうした複雑さに踏み込む前に、本質的な考え方をすでに含んでいる、より単純な系を振り返ることは有益です。その一つが振動する弦であり、Quantum Field Theory for the Gifted Amateur のような基礎的なテキストにも早い段階で登場します。
この記事では、弦の波動方程式、とりわけ弦のポテンシャルエネルギーの意味とラグランジアンによる記述を見ていきます。
何について話しているのか？
質量 $m$、長さ $ell$ の弦を考えます。弦は振動しており、その各点は平衡位置からの横方向の変位 $psi(x,t)$ によって特徴づけられます。ラグランジュ力学の言葉を使うと、この系の運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $V$ を表すことができます。
これらのエネルギーは、弦の線密度
張力 $mathcal{T}$、そして変位場 $psi(x,t)$ を用いて書かれます。
運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの風景
運動エネルギー $T$ は、弦の運動に伴うエネルギーです。弦の各微小部分は横方向の速度 $partial psi / partial t$ で動くので、全運動エネルギーは
ポテンシャルエネルギー $V$ は、弦が直線から変形したときに蓄えられるエネルギーを表します。横方向の変位が小さい場合、伸びは空間的な傾き $partial psi / partial x$ によって支配されるため、
ここで小さな変位を仮定していることは重要です。この式は、弦の余分な長さに対する主要な二次近似を用いています。
核心：$left(partial psi / partial xright)^2$ を理解する
項
は、弦上のある点から次の点へと変位がどれほど急速に変化するかを測ります。幾何学的には、$partial psi / partial x$ は弦の局所的な傾きです。完全に平らな弦は傾きがゼロなので、変形による弾性ポテンシャルエネルギーを持ちません。鋭く曲がった弦はより大きな傾きを持ち、より多くのエネルギーを蓄えます。
二乗には二つの重要な役割があります。第一に、弦が上向きに傾いていても下向きに傾いていても、エネルギーを正にします。第二に、小さな変形がエネルギーに滑らかかつ対称的に寄与することを意味します。これは多くの場の理論に現れるのと同じ基本構造です。エネルギーは場の値だけでなく、場が空間内でどのように変化するかにも依存します。
作用とラグランジアン密度
ラグランジアンは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差です。
連続的な弦の場合、これをラグランジアン密度 $mathcal{L}$ を用いて書くと便利です。すなわち、
ここで $S[psi]$ は作用です。振動する弦のラグランジアン密度は
場に対するオイラー＝ラグランジュ方程式
を適用すると、
同値に、
これが波動方程式です。弦を伝わる波の速さは、張力と線密度の比によって決まります。張力が大きいほど波は速く進み、線密度が大きいほど波は遅く進みます。
結論
振動する弦は控えめな例ですが、後に場の理論で再び現れる基本的なパターンを含んでいます。連続的な自由度 $psi(x,t)$ を記述し、それにラグランジアン密度を割り当て、その密度を積分して作用を作り、作用原理から運動方程式を導きます。
この意味で、弦は単なる準備運動ではありません。場がどのように運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを蓄え、空間的な変化がどのように力学に寄与し、運動方程式がラグランジアンの枠組みからどのように現れるかを示す、具体的なモデルなのです。